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§广义最小二乘法

一、广义最小二乘法

普通最小二乘法、加权最小二乘法是广义最小二乘法的特例。

存在序列相关性最常用的方法是广义最小二乘法

存在异方差

设用左乘两边

即

用最小二乘法得：

这就是广义最小二乘法估计模型的参数估计量。

矩阵的估计为

二、广义最小二乘法的示例

湖北省病虫灾成灾面积与受灾面积对应关系的分析

病虫灾成灾面积与受灾面积的对应关系的研究对于指导抗灾、救灾有着重大的意义。从统计分析的角度出发，利用逐年的统计资料将病虫灾成灾面积数据看成时间序列，病虫灾受灾面积数据看成时间序列，应用普通最小二乘法可以建立线性模型给出病虫灾成灾面积与受灾面积之间的线性关系。但这一思路存在着重大的缺陷：没有考虑扰动项的自相关，直观上看病虫灾成灾面积数据有扰动项的自相关。如果确实存在着扰动项的自相关而不加以考虑，它将直接影响到病虫灾成灾面积与受灾面积二者之间关系的准确性。为此，考虑到数据扰动项的自相关，利用1978~1995年湖北省病虫灾统计数据，先进行检验看是否存在自相关，通过Durbin-Watson检验后，基于广义最小二乘法，给出湖北省病虫灾成灾面积与受灾面积的对应关系。

应用1978~1995年湖北省病虫灾统计数据(见表1)

表1

1978~1995年湖北省病虫灾统计数据单位：667公顷

年份	病虫受灾面积	病虫成灾面积	年份	病虫受灾面积	病虫成灾面积
1978	479.87	175.6	1987	727	325.7
1979	424.24	151.3	1988	120.8	64
1980	620.8	328	1989	1197.7	523.5
1981	487.5	269.3 利多卡因胶浆	1990	687.7	305.7
1982	384.3	212.1	1991	624.6	358.7
1983	485.02	253.51	1992	294.1	157
1984	323.97	183.78	1993	673.6	356.8
1985	459.2	244.5	1994	931.4	508.3
1986	197.3	85.7	1995	455.4	240

将病虫灾成灾面积数据看成时间序列，病虫灾受灾面积数据看成时间序列设

为扰动项

用普通最小二乘法可得,实际计算的结果为

所以有

应用普通最小二乘法建立的线性模型,给出了湖北省病虫灾成灾面积与受灾面积之间的线性关系。这个结果没有考虑扰动项是否有自相关。

扰动项是否有自相关,可以用Durbin-Watson 法检验。对

若用普通最小二乘法得到则

Durbin-Watson统计量定义为：

表2

Durbin-Watson检验计算表


1	479.87	175.6	好梦何必成真 239.2726	-63.6726	4054.206	3950.772	1.62447	2.638903
2	424.24	151.3	213.3482	-62.0482	3849.976	-1430.32	85.0999	7241.992尘世佛心
3	620.8	328	304.9483	23.05172	531.3817	610.217	3.419933	11.69594
4	487.5	269.3	242.8284	26.47165	700.7483	459.667	-9.10715	82.94016
5	384.3	212.1	194.7355	17.3645	301.5259	205.55	-5.52713	30.54918
6	485.02	253.51	241.6726	11.83737	140.1233	203.1203	5.321877	28.32237
7	323.97	183.78	166.6208	17.15925	294.4397	254.9847	-2.29934	5.286981
8	459.2	244.5	229.6401	14.8599	220.8167	-325.291	-36.7504	1350.593
四川卫视两天一夜9	197.3	85.7	107.5905	-21.8905	479.1943	629.1153	-6.84868	46.90435
10	727	325.7	354.4392	-28.7392	825.9406	228.1972	20.7989	432.5942
11	120.8	64	71.94028	-7.94028	63.04809	399.34	-42.3526	1793.745
12	1197.7	523.5	573.7929	-50.2929	2529.377	1530.149	19.86816	远程会诊394.7438
13	687.7	305.7	336.1248	-30.4248	925.6656	-1581.5	82.40561	6790.684
14	624.6	358.7	306.7191	51.98086	2702.009	223.4732	-47.6817	2273.546
15	294.1	157	152.7009	4.299144	18.48264	117.1348	22.94693	526.5615
16	673.6	356.8	329.5539	27.24607	742.3485	1596.815	31.36108	983.517
17	931.4	508.3	449.6929	58.60715	3434.798	710.9495	-46.4764	2160.054
18	455.4	240	227.8692	12.13076	147.1554
					21961.24	7782.372		24156.37

应用及表1给出的，可得到

。经过计算（见表2）得到

对查Durbin-Watson检验表得：

拒绝认为扰动项有正自相关。

从上述检验可知1978~1995年湖北省病虫灾统计数据中病虫灾成灾面积与受灾面积之间线性关系的扰动项有正自相关。应用普通最小二乘法得到的结果缺乏准确性。为了解决扰动项的正自相关，可以采用广义最小二乘法。

若扰动项为正自相关，令

广义最小二乘法所得的参数估计式为，它具有最佳线性无偏的特性。

其中

可用其估计代替。利用表2 的计算结果可得

,运用数学软件Mathcad计算得

中国司法独立所以湖北省病虫灾成灾面积与受灾面积之间的线性关系为

这个结果考虑了扰动项的自相关而且具有最佳线性无偏的特性。以此为预测方程比原来的回归方程效果更佳。

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