一、约束最小二乘估计
(2.31) 11112211
21122222
其中，K K p p pK d d d d d d d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
D ，12...K βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦β，12...p b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦b 下面用Lagrange 乘子法求模型(2.2)满足线性约束(2.31)式的最小二乘估计量。
记K d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦d =，K d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦d =，…，p p p K d d d ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
d = 于是p 个线性约束方程为：i i b '=βd ，1,2,...i p =
()()()
11min p p
Q b ''==--⎧'=⎪⋅⋅⋅⎨⎪'=⎩ ββββββe e Y X Y X d
d 记Lagrang
e 乘子1(,,)p λλ'= λ，于是Lagrange 函数：
()()()()()
1,22p i i i i g Q b Q λ=''=+-=+-∑ βββββλd λD b
()
,222g ∂'''=-++=∂0 βββλX Y X X D λ ()'∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭x A A x 解方程组⎧'''-++=⎪⎨=⎪⎩0 ββX Y X X D λD b
，得 β和λ。 求解如下：
将正则方程ˆ''=X Y X X β
代入第一个方程，得： ˆ'''-+=0 β
βX X X X D λ
(2.34) ()1ˆ-''=- β
βX X D λ 将上式代入= β
D b ，得： ()()11ˆˆ--⎡⎤''''=-=-⎣⎦
D D X X D λD D X X D λ=b βββ ()()11ˆ--⎡⎤''=-⎣⎦βλD X X D D b
()()()111ˆˆ---⎡⎤''''--⎣⎦ βββ=X X D D X X D D b
对满足=βD b 的任意β，有()()Q Q ≥ ββ
： 由(2.15)式()()()()ˆˆˆQ Q ''=+--ββββββX X 有：
()()()()ˆˆˆQ Q ''=+-- X X β
βββββ 现计算： ()()()()
()()()()()()()()()()()()()()(
)()ˆˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆQ Q Q Q Q Q ''=+--'⎡⎤⎡⎤'=+-+--+-⎣⎦⎣⎦
''=+--''+--''=+''+---- X X X X X X X X X X X X β
βββββββββββββββββββββββ
ββββββββββ 其中，(
)()ˆ0''--= ββββX X (利用(2.34)、= βD b 和=βD b )
所以()()Q Q ≥ ββ
，等号当且仅当= ββ时成立。 二、过原点的一元线性回归模型 12i i i Y X ββε=++，1,...,i n =
记12...n Y Y Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y ，1n X X X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦X ，12ββ⎡⎤≡⎢⎥⎣⎦β，12...n εεε⎡⎤⎢⎥⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦
ε 线性约束：10β=， 即[]10=D ，0b =
计算()()()111ˆˆ---⎡⎤''''--⎣⎦ βββ=X X D D X X D D b ：
[]112ˆˆˆ100ˆβββ⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦D b =β 2i i i n X X X
⎡⎤'⎢⎥⎣⎦∑∑∑=X X ()coq10
2121i i i i X X X n n x -⎡⎤-'=⎢⎥-⎣⎦∑∑∑∑X X ()2121i i i X X n x -⎡⎤''=⎢⎥-⎣⎦
∑∑∑X X D ()[]221221fifa2003
10i i i i i X X X n x n x -⎡⎤''==⎢⎥-⎣⎦∑∑∑∑∑D X X D ()()()111122112222ˆˆˆ1ˆˆ0i i i i i i i i X X X n x n x X Y X βββ----⎡⎤''''--⎣⎦
⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
唯美主义运动
∑∑∑∑∑∑∑ =X X D D X X D D b βββ 对模型i i i Y X βε=+直接用最小二乘估计即可得2
ˆi i
i X Y
X β=∑∑！
2.1.5 应用举例
一、最小二乘估计应用举例
对于模型：12233i i i Y X X βββ=++
回归命令：ls y c x2 x3
例：Cobb-Douglas.wf1
2010年上海高考作文
(墨西哥某行业1955-1974年) 生产函数：123log()log()log()t t t t Y L K βββε=+++
回归命令：ls log(y) c log(l) log(k)
()()()0.60log(
) 1.6520.340log()0.846log() 0.093 0.186 0.0628
洗脚
t t t Y L K se s =-++==
在Equation 窗口中，View/Covariance Matrix 可得： C LOG(L) LOG(K)
C 0.3675 -0.1049 0.0481
LOG(L) -0.1049 0.03448
-0.0170 LOG(K) 0.04805 -0.0170 0.0087
即系数协方差矩阵 ()()12ˆvar
广安门电影院s -'=X X β。 二、约束最小二乘估计应用举例
(一) 用约束最小二乘估计公式
模型：123log()log()log()t t t t Y L K βββε=+++
约束：231ββ+=
下面命令用系数向量cc 存放模型的最小二乘估计值，矩阵X 存放常变量、log(L)和log(K)三个变量20年数据，dd 存放约束矩阵（只有一个约束条件，所以是约束向量），最后，用约束最小二乘估计 公式()()()111ˆˆ---⎡⎤''''--⎣⎦
=X X D D X X D D b βββ计算 β，
约束最小二乘估计值放在向量ccc 中。
coef(3) cc
ls log(y)=cc(1)+cc(2)*log(l)+cc(3)*log(k)
matrix(20,3) x
series x1=1
series x2=log(l)
series x3=log(k)
group xg x1 x2 x3
x=xg
matrix(1,3) dd
dd(1,1)=0
dd(1,2)=1
dd(1,3)=1 vector(3) xxd=@inverse(@transpose(x)*x)*@transpose(dd)
coef(3) ccc=cc-xxd*@inverse(dd*xxd)*(dd*cc-1)
(二) 用约束条件化简模型，再用普通最小二乘估计
将231ββ=-代入模型，得：
()13313log()1log()log()log()log()t t t t
t t t t t
Y L K Y L K L βββεββε=+-++=++ ls log(y/l) c log(k/l) () ()
ln 0.4947 1.0153ln 0.030
t t t t Y L K L s =-+=
比较(一)和(二)结果。
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