在本教程即将结束时，再次强调微观粒子与宏观质点的不同特点．
在经典力学中，一个宏观质点的运动状态，可用位置坐标、动量，以及运动轨道等概念来描述．已知一质点在某时刻的坐标和动量，以及它所在力场的性质，则可按牛顿运动定律求得它在任一时刻的坐标和动量，以及任一段时间内的运动轨道． 看一个简单的例子，如（图16.6a），设有一高压水，射出一束水注，沿着y轴方向，垂直投射在一个宽为b的单缝中．这束水珠穿过单缝后，冲击在垂直于y轴的屏上Q0点附近．（假设不计水珠所受重力，以及被缝的边缘阻挡的水珠）．当缝的宽度b缩小一些时，通过缝的水珠的位置总的来说都是互相接近一些的．当缝的宽度b增大一些时，穿过缝的水珠的位置却是互相离开一些的．但是，不论缝中水珠的位置互相接近或离开，对它们的动量的大小和方向不会有影响．这是我们的常识可以得出的结论，也与经典力学一致．
如（图16.6b），设有一束光子穿过宽度为a的单狭缝．在屏上相当宽的范围，将出现衍射条纹．这就是第三篇§12.5所说的光的单缝衍射条纹，这是光的波粒二象性应有的结果． 如（图16.6b），设Q1与Q－1为此单缝衍射条纹的第一级极小位置，则Q1至Q－1范围内便是中央亮纹的位置．光波的大部分能量投射在中央亮纹，也就是说，穿过狭缝的光子，大多数到达中央亮纹．
设Q1所对应的偏角为，此束光子的波长为λ，则按单缝衍射公式可得如下关系：
〔单缝衍射第一级极小位置的偏角〕 asin=λ （16.6.1）
此式表明：a值较小，则值较大．也就是说，当光子通过狭缝时，彼此的位置比较靠近，则它们射到屏上的分散范围就比较大．
从光子的动量变化，也可看出它们的衍射情况．在进入狭缝时，光子的动量都等于p，方向都与y轴一致，即、．穿过狭缝射向中央亮纹的光子，它们的方向分散在偏角－到范围内．也就是说，从狭缝穿出的光子，它们的动量的x轴分量，其数值的分布范围为0≤≤sin．光子的值之间的最大差值△=sin－0=sin．此△称为的测不准量．如果考虑到还有光子会射到中央亮纹以外，则的测不准量△的关系式应写成：△≥sin．
光子在狭缝中的位置坐标x之间的最大差值△x，显然等于缝宽a．也就是说，x的测不准量△x=a．
最后一式用到（16.6.1）式：asin=λ．
822uu按德布罗意公式（16.1.5），p=h/λ，可将（16.6.3）式写成：
〔△x与△的测不准关系〕 △x·△≥pλ=h （16.6.4）
现在强调一下这个测不准关系式的重要意义．此式表明，△x很小时，△很大，△x与△的乘积必定大于常量h．这就是说，如果缩小狭缝的宽度a，使得穿过狭缝光子的位置测不准量△x缩小，则必定使得这些光子的动量分量测不准量△增大．简单地说，光子的坐标x测得越准确．它的动量分量就测得越不准确．
反过来，如果增大狭缝的宽度a，按（16.6.1）式可知，a增大，则、sin、和△都会缩小．a增大，△x=a也增大．这表明，光子的动量分量测得准确，它的坐标x就测得不准确．
（三）海森伯的测不准关系（或称不确定关系）
如果用电子束代替上述的光子束，令电子束通过相应的单狭缝，也可测到电子波的单狭缝衍射条纹，也可从电子的波粒二象性关系式，导出测不准关系式（16.6.4）．
由于微观粒子都具有波粒二象性，因此，测不准关系式（16.6.4）对所有微观粒子都适用．
比较（图商业报道16.6a）与（图16.6b）可知，测不准关系式（16.6.4）不适用于宏观质点．对宏
观质点，可同时准确测定它的位置坐标与动量，可应用轨道的概念描述它的运动．宏观质点不具有波粒二象性，它的运动可用经典力学描述．
测不准关系式（16.6.4）乃是只讲数量级的估算式子，式子中的普朗克常量可用h，也可用=h/2π表示．这个关系式不限于单狭缝衍射的简单例子，它可推广于微观粒子的一般运动情况：
△x·△px≥h或△x·△px≥=h/2π,
△y·△py≥，△z·△pz≥
（16.6.5）这就是1927年初，德国年青物理学家海森堡提出的测不准原理．有的课本称上式为不确定度关系．
（四）微观粒子的能量与时间的测不准关系
设想有一束微观粒子，沿x轴自由运动，其动量为p．按测不准关系式（16.6.5）可知：
△x·△≥, （16.6.6）
设此自由微粒的速度v<<c，则其能量E与动量p的关系为：
v<<c，E=mv2/2=p2/2m，∴△E=p△p/m=v△p．
此式代入（16.6.6）式得：
△x·△p=△x·△E/v=△t·△E≥
〔微观粒子的能量与时间的测不准关系〕△E·△t≥ （16.6.7）
这个结论表明，微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测量．比方说，氢原子在激发态的时间为10－8秒，可认为它的时间测不准量△t=10－8秒．代入（16.6.7）式便可得到它的能量测不准量△E：
△E≥/△t=1.05×10－34/10－8=1.05×10－26焦耳．
这就是说，能量测不准量△E大于10－26焦．在（表15.3a）已列出，可见光光子的能量约
为10－19焦．因此，氢原子发出的光谱线必定有一定的宽度．这结论已为实验所证实．
（五）量子力学发展的艰辛历程
1900年，普朗克为了从理论上说明热辐射的实验结果，提出了能量子的假设．这是牛顿以后自然哲学所经受的最巨大、最深刻的变革．从此以后人们不断地、严谨地探索微观粒子的客观性质．微观粒子的波粒二象性，它的波函数可表达几率密度，它的波动方程可导出四个量子数，它的位置坐标与动量、它的能量与时间都具有测不准关系，这一些主要结论互相一致，并都能纳入系统严密的量子力学中去．
但是由于经典物理的辉煌成就，经典概念的深入人心，量子力学的发展过程是相当艰辛的．普朗克提出量子假设后，徘徊观望十几年，他企图把量子假设与经典理论调和起来，他首先起来反对爱因斯坦勇敢地推广量子理论．
爱因斯坦是20世纪物理学两大重要发现（量子论与相对论）的元勋，是最受人们尊重的天才之一．但他与玻尔对量子力学的争论，是物理学史上持续时间最长、争论最激烈和最富有哲学意义的争论之一．玻尔是哥本哈根（丹麦首都）学派的领导人，他身边集结了一批
极有才华的年青人，例如对波函数提出统计解释的玻恩，对微粒运动提出测不准关系的海森伯等．玻尔曾经提醒爱因斯坦，位置与动量、能量与时间的测不准关系，与他的相对论所说的时间要随运动系统而确定一样，都是人们不熟悉的客观规律．然而，爱因斯坦仍然认为一种完备的理论应该是决定论的，不应该用几率和测不准关系来表达微粒的运动．他多次设计理想实验，想证明测不准原理有错误，可是这些实验却证明测不准原理并无错误．由于对大多数学者接受的、哥本哈根学派量子理论的解释深感不满，爱因斯坦晚年，将自己置身于物理学发展的主流之外，一个人孤独而又艰难的跋涉着．
哥本哈根学派的量子理论解释，也不是完美无缺的．物理学总要不断地向前发展，人类对自然规律的认识过程，总是不平坦的．
〔例题16.6A〕
试比较电子和质量为10g的子弹，在确定它们的位置时的不准量△xe和△xb．假定它们都沿x方向、以v俞芳林=200m·s－1的速度运动，速度的测量误差在0.01%以内．
〔解〕（1）由于v<<c，可知电子的质量me=9.1×10－31kg．
按题意，此电子的速度不准量
△v=0.01%×v =10安丘四中－4×200=2×10－2m/s，
此电子的动量不准量△=me△v=18.2×10－33kg·m/s．
△v比v小得多，△也比=mev小得多．
代入测不准关系式（16.6.5）可得：
△xe≥/△=1.05×10－34/18.2×10－33=5.77×10－3m．
已知原子的大小为10－10m数量级，上述电子的位置测不准量△xe比原子约大107倍．可知此电子的△较小，△xe就较大．此电子的动量测得准，位置就测不准．
（2）按题意所述子弹的动量测不准量△可计算如下：
△=mb△v=10×10－3×2×10－2=2.0×10－4kg·m/s．
按测不准关系式（16.6.5），可求得此子弹的位置测不准量△xb：
△xb≥/△1.05×10－34/2×10－4=5.25×10－31m．
可知此子弹的△xb与△都很小，子弹的xb与可同时准确地测量．子弹是宏观物体，不具有波粒二象性，不受微观粒子测不准关系式（16.6.5）的限制．
〔例题16.6B〕
已知原子核线度的数量级为10－14米．假设电子被束缚在原子核内，试应用测不准关系估算此电子的动能有多大?
〔解〕电子如果在原子核内，电子的位置不准量可认为是△x=10－14米．按照测不准关系式（16.6.5），此电子的动量不准量△p≥h/△x，即
△p≥h/△x=6.63×10－34/10－14=6.63×10－20千克·米/秒．
此电子的动量p不应小于△p，即
p≥△p≥6.63×10－20千克·米/秒．
按狭义相对论公式（见第一编〔附录4F〕）有：
总能ε2=c2p2+， 动能Ek=ε－E0．
土耳其开局由于cp≥3×108×6.63×10－20=1.99×10－11焦．
此电子的静能
E0=m0c2=9.1×10－31×9×1016星空下的记忆=8.22×10－14焦．
此静能E0远小于cp值，因此可略去E0，求得此电子的动能Ek：
Ek=ε=cp≥1.99×10－11焦=124兆电子伏特．
已知氘核的结合能为△ED=2.23兆电子伏特．上述电子的动能Ek远大于△ED值，此电子会把氘核打碎．可知把电子关闭在一些原子核中是不可能的．
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