带电粒子在电场和磁场中的运动

10-5 带电粒子在电场和磁场中的运动

一、带电粒子在电场和磁场中所受的力

若电场中点的电场强度为，则处于该点的电荷为的带电粒子所受的电场力为

此外，若点处的磁感强度为，且电荷为的带电粒子以速度通过点，如下图所示，那么，作用在带电粒子上的磁场力为

（10-9）

叫做洛伦兹力。洛伦兹力的方向垂直于运动电荷的速度和磁感强度所组成的平面，且符合右手螺旋定则：即以右手四指由经小于180°的角弯向，此时，拇指的指向就是正电荷所受洛伦兹力的方向。由式（10-9）还可以看出，当电荷为时，的方向与的方向相同；当电荷为时，的方向则为的方向。

在普遍的情况下，带电粒子若既在电场又在磁场中运动时，那么作用在带电粒子上的磁力应为电场力和洛伦兹力之和，即即

二、带电粒子在磁场中运动举例

1 回旋半径和回旋频率

设电荷为，质量为的带电粒子，以初速进入磁感强度为的均匀磁场中，且与垂直，如下图所示。如略去重力作用，则作用在带电粒子上的力仅为洛伦兹力茅于海，其值为，而的方向垂直于与所构成的平面，所以，带电粒子进入磁场后将以速率作匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有

其中为带电粒子作匀速圆周运动的轨道半径，也称回旋半径。由上式得

（10-10）

我们把粒子运行一周所需要的时间叫做回旋周期，用符号表示，有

（10-11a）

单位时间内粒子所运行的圈数叫做回旋频率，用表示，有

药代动力学（10-11b）

讨论：关于带电粒子在磁场中运动问题的讨论

芮成钢专访1 正电荷和负电荷的与垂直时运动轨迹的比较如下图所示

因此，在高能粒子物理中，常用带电粒子在云室中的径迹来观察和区分粒子的性质。 1932年美国物理学家安德森（C.D.Anderson,1905—）在分析宇宙射线穿过云室中的铅板后所产生的带电粒子径迹的照片时，发现了正电子，证实了狄拉克的正电子预言。

2 以上讨论只适用于带电粒子速度远小于光速的非相对论情形。如带电粒子的速度接近于光速，上述公式虽然仍可沿用，但粒子的质量不再为常量，而是随速度趋于光速而增加的，因此回旋周期将变长，回旋频率将减小。考虑到这种情况，人们便研制了同步回旋加速器等。

2 磁聚焦

前面讨论了带电粒子的初速与磁感强度垂直时带电粒子作圆周运动的情形，下面将讨论与之间有任意夹角时，带负电荷粒子的运动规律，如下图所示，设在均匀磁场中的磁感强度的方向沿轴正向，带电粒子的初速与之间的夹角为。于是，可将初速分解为：平行于的纵向分矢量和垂直于的横向分矢量。它们的值分别为和。在磁场作用下将使粒子在垂直于的平面内作匀速圆周运动；仍使粒子保持沿方向的匀速直线运动。现在由于带电粒子同时参与这两个运动，结果它将沿螺旋线向前运动。显然，螺旋线的半径为

回旋周期为

而且，如把粒子回转一周所前进的距离叫做螺距，则其值为

　2011江苏数学

上式表明，螺距与无关，只与成正比。

利用上述结果可实现磁聚焦。如下图所示，在均匀磁场中某点A发射一束初速相差不大的带电粒子，它们的与之间的夹角不尽相同，但都很小，于是这些粒子的横向速度略有差异，而纵向速度却近似相等。这样这些带电粒子沿半径不同的螺旋线运动，但它们的螺距却是近似相等的，即经距离后都相交于屏上同一点。这个现象与光束通过光学透镜聚焦的现象很相似，故称之为磁聚焦现象。磁聚焦在电子光学中有着广泛的应用。

3．带电粒子在非均匀磁场中的运动举例

观测表明，地球磁场类似于磁偶极子产生的磁场，它的磁感线分布情况如图所示，两极强而中间弱，在外层空间运动的大量带电粒子（宇宙射线）进入磁场影响范围，将绕地磁感线作螺旋运动，因为在近两极处地磁场增强，作螺旋运动的粒子将被折回，结果在沿磁感线的区域内来回振荡，形成范·阿仑辐射带。偶尔地，太阳黑子活动引起空间磁场的变化，

使粒子在磁感线引导下在地极附近进入大气层，从而引起大气中氮和氧分子的电离，产生出奇丽的极光（见本章封面图）。

三、带电粒子在电场和磁场中运动举例

1 质谱仪

质谱仪是用物理方法分析同位素的仪器。

下图是一种质谱仪的示意图。从离子源（图中未画出）产生的正离子，以速度经过狭缝和之后，进入速度选择器。设速度选择器中、之间的均匀电场的电场强度为，而垂直屏幕向外的均匀磁场的磁感强度为。当电荷为的正离子的速度满足时，它们就能径直穿过、而从狭缝射出。

正离子由射出后，进入另一个磁感强度为的匀强磁场区域，磁场的方向也是垂直屏幕向外的，但在此区域中没有电场。这时正离子在磁场力的作用下，将以半径作匀速圆周运动。若离子的质量为，则有

所以

由于和离子的速度是已知的，且假定每个离子的电荷都是相等的，从上式可以看出，离子的质量和它的轨道半径成正比。

如果这些离子中有不同质量的同位素，它们的轨道半径就不一样，将分别射到照相底片上不同的位置，形成若干线状谱的细条纹，每一条纹相当于一定质量的离子。从条纹的位置可以推算出轨道半径，从而算出它们的相应质量，所以，这种仪器叫做质谱仪。

扩充内容：速度选择器

在图中，带正电的粒子束垂直射入呈正交的均匀电场和均匀磁场中，同时受到电场力和洛伦兹力的作用。适当设置电场和磁场的方向，可以使这两个力方向相反，则速度满足

即

的粒子能平直地通过板，之间的区域，当然，调整和的值，就可允许其它速度的粒子通过该区域，这种装置称为速度选择器。

扩充内容：我国于1994年建成的第一台强流质子加速器

2 回旋加速器

上皮细胞

回旋加速器是一种能产生高能量带电粒子的机器，下面简述其工作原理。

右图是回旋加速器原理图，它的主要部分作为电极的两个金属半圆形真空盒和放在高真空的容器中，然后将它们放在电磁铁所产生的强大均匀磁场中，磁场方向与和的平面垂直。当两电极间加有高频交变电压时，两电极缝隙之间就存在高频交变电场，致使极缝间电场的方向在相等的时间间隔内迅速地交替改变。如果有一带正电荷的粒子，从极缝间的粒子源O中释放出来，那么，这个粒子在电场力的作用下，被加速而进入半盒。设这时粒子的速率已达，由于盒内无电场，且磁场的方向垂直于粒子的运动方向，所以粒子在内作匀速圆周运动。经时间后，粒子恰好到达缝，这时交变电压也将改变符号，即极缝间的电场正好也改变了方向，所以粒子又会在电场力的作用下加速进入盒，使粒子的速率由增加至，在内的轨道半径也相应地增大。由式（10-11b）已知粒子的回旋频率为

为粒子的质量。这样，带正电的粒子，在交变电场和均匀磁场的作用下，多次累积式地被加速而沿着螺旋形的平面轨道运动，直到粒子能量足够高时到达半圆形电极的边缘，通过铝箔覆盖着的小窗F，被引出加速器。高能粒子在科学技术中有广泛的应用领域，如核工业、医学、农业、考古学等等。

3 霍耳效应

如下图所示，把一块宽为，厚为的导电板放在磁感强度为的磁场中，并在导电板中通以纵向电流，此时在板的横向两侧面之间就呈现出

一定的电势差。这一现象称为霍耳效应，所产生的电势差称霍耳电压。实验表明，霍耳电压的值为

（10-12）

其中称为霍耳系数。如果撤去磁场，或者撤去电流，霍耳电压也就随之消失。

讨论：如何用洛伦兹力解释霍耳效应？

在上图中，设导体板中的载流子为电荷q，其漂移速度为。于是载流子在磁场中要受洛伦兹力的作用，其值为，在洛伦兹力的作用下，导体板内的载流子将向板的A端移动，从而使A，两侧面上分别有正、负电荷的积累。这样，便在A，之间建立起电场强度为的电场，于是，载流子就要受到一个与洛伦兹力方向相反的电场力。随着A，上电荷的积累，也不断增大。当电场力增大到正好等于洛伦兹力时，就达到了平衡。可以推得霍耳电压为

则可得霍耳系数

可见与载流子数密度成反比。

以上我们讨论了载流子带正电的情况，所得霍耳电压和霍耳系数亦是正的。如果载流子带负电，则产生的霍耳电压和霍耳系数便是负的。所以从霍耳电压的正负，可以判断载流子带的是正电还是负电。

扩充内容：量子霍耳效应

从式（10-12）中可以看到，在给定电流和导体厚度的情况下，霍耳电压随磁感强度的增加而线性地增加。选址问题然而，1980年德国物理学家克利青（Klausvon Klitzing，1943—），在研究低温和强磁场下半导体的霍耳效应时，发现霍耳电压与的关系如图所示。从图中可以看出与之间的关系不再是线性的，而是量子化的。按照霍耳效应的量子理论，霍耳电阻应为

（为正整数）

式中为普朗克常量（见第18-1节），为电子电荷，它们的值可以由物理常数表查得。所以霍耳电阻为

当时的霍耳电阻为25812.806。由于量子霍耳电阻可以精确地测定，所以1990年人们把由量子霍耳效应所确定的电阻25812.806作为标准电阻。为表彰克利青发现了量子霍尔效应，他于1985年获诺贝尔物理学奖。

四、思考题

1. 一质子束发生了侧向偏转，造成这个偏转的原因可否是电场？可否是磁场？你怎样判断是哪一种场对它的作用？

2. 均匀磁场的磁感强度的方向垂直向下，如果有两个电子以大小相等、方向相反的速度沿水平方向射出，试问这两个电子作何运动？如果一个是电子，一个是正电子，它们的运动又如何？

在均匀磁场中有一电子，它可发射出速率分别为v和2v的两个电子。这两个电子的速度方向相同，且均与垂直。试问这两个电子各绕行一周所需的时间是否有差别？

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