1 / 4
1．给出下列三个命题：
①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线a 、b 不相交”； ②“直线a 垂直于直线b ”的充分非必要条件是“直线a 垂直直线b 在平面β内的射影”； ③“直线a 垂直平面β” 的必要非充分条件是“直线a 垂直于平面β内的无数条直线”
其中所有真命题的序号是 ③
2．如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且P A ⊥平面A BCD 则在△P AB 、△PBC 、△PCD 、△P AD 、△P AC 及△PBD 中，为直角三角形有______5___个．
3．在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足 BM PC ⊥ 时，平面MBD ⊥平面PCD ．
4．已知三棱锥ABC S -的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影
H 是SBC ∆的垂心，且SA 的长为定值，则下列关于此三棱锥的命题：①点B 在侧面SAC 上的射影是SAC ∆的垂心；②三棱锥ABC S -是一个正三棱锥；③三棱锥ABC S -的体积有最大值；④三棱锥ABC S -的体积有最小值.其中正确命题的序号为 ①②③ . 5．如果a,b 是异面直线，P 是不在a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过P 一定可作直线L 与a , b 都相交；（2）过P 一定可作直线L 与a , b 都垂直；（3）过P 一定可作平面α与a , b 都平行；（4）过P 一定可作直线L 与a , b 都平行，其中正确的结论有___（2）______．
6．给出下列命题：①分别和两条异面直线AB ．CD 同时相交的两条直线AC ．BD 一定是异面直线②同
时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b 在面α内的射影为c ，直线a ⊥c ，则a ⊥b ④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是 ① ．
7．点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是
5
70
2 ． 8．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB //平面α，则正四面体上
的所有点在平面α内的射影构成图形面积的取值范围是
]21
,42[
． 9．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，
则∠BAC= ．（60或120，两种情形）
10.四棱锥D ABCE -的底面是矩形，DE ⊥面ABCE ，3,1, 2.DE EC BC G ===为DA 的中点，Q 为DC 上一点，且EQ ⊥面GBC ，则
DQ QC ＝ 3
2
. 11．已知边长为23的正ABC ∆，点,D E 分别在边,AB AC 上，且//DE BC ，以
DE 为折痕，把ADE ∆折起至A DE '∆，使点A '在平面BCED 上的射影H 始
终落在BC 边上，记2ADE S A H ∆='的面积
，则S 的取值范围为 ．
【答案】3
(2011年兵役法
,)3
+∞【解析】设A 到DE 的距离为x ，则DE 与BC 间距离为3x -，ADE ∴∆的面积为233
x ()222
369A H x x x '=--=- 2339232x S x x ⎛⎫∴=⋅> ⎪-⎝⎭ S ∴的取值范围为3(,)3+∞
． 12．三棱锥ABC P -中，︒=∠=∠=∠90CPA BPC APB ，点M 在△ABC 内，且=∠MPA ︒=∠60MPB ，则MPC ∠的度数是___︒45______． 13.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最 大值是 。
【答案】
13
2
22--c a c 14．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB
∆的面积的最大值是 12 .
二、解答题
15． 如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且
2AB AE =．
（1）求证：//AB 平面CDE ；
（2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ； 证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，又AB ⊄平面CDE ， CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ． （2）因为AE CDE ⊥平面，且CD CDE ⊂平面，
所以AE CD ⊥， 又 ABCD CD AD ⊥正方形中，，
且AE AD A =AE AD ADE ⊂、平面， 所以CD ADE ⊥平面， 又CD ABCD ⊂平面， 所以ABCD ADE ⊥平面平面．
16.如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，EC ＝CA ＝2BD ，M
是EA 的中点．
求证：（1）平面BDM ⊥平面ECA （2）平面DEA ⊥平面ECA
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，
PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==．
(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (2)求四棱锥P ABCD -的体积．
(1) 证明：在ABD △中，由于4AD =，8BD =，
45AB =，所以222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，
我们的中华BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，
又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．
(2) 解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，由于平面PAD ⊥平面ABCD ，
所以PO ⊥平面ABCD ．因此PO 为四棱锥P ABCD -的高，又PAD △是边长为4的等边三角形．因此3
4232
PO =⨯=．在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB 边
上的高为4885
545
⨯=
， α β P A B
D
C
A B C D E A B
C M
P D
2 / 4
美国蓝动力
A B C C 1 B 1 A 1
F D E
M A
B C C 1 B 1 A 1
F D E
O M 此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为254585
2425
S +=⨯=． 18.如图１，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD ，∠ABC =600，E 是BC 的中点．如图2，将△ABE 沿
AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连结BC ，BD ，F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点．
(1)求证：AE ⊥BD ；
(2)求证：平面PEF ⊥平面AECD ；
(3)判断DE 能否垂直于平面ABC ?并说明理由．
证明：(1)连接BD ，取AE 中点M ，连接,BM DM ． 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD ，60ABC ︒∠=，E 是BC 的中点， ABE ∴∆与ADE ∆都是等边三角形 ,BM AE DM AE ∴⊥⊥ ,,BM DM M BM DM =⊂平面BDM ，AE ∴⊥平面BDM ． BD ⊂平面BDM ，AE BD ∴⊥． (2)连接CM 交EF 于点N ，连接PN ME ∥FC ，且ME ＝FC ，∴四边形MECF 是平行四边形。∴N 是线段CM 的中点。 ∵P 是线段BC 的中点，PN ∴∥BM BM ⊥平面AECD PN ∴⊥平面AECD ．
(3)DE 与平面ABC 不垂直． 假设DE ⊥平面ABC ，则DE AB ⊥．∵⊥BM 平面AECD ．BM DE ∴⊥．
AB BM M =，,AB BM ⊂平面ABE ，DE ∴⊥平面ABE ．
DE AE ∴⊥，这与60AED ∠=矛盾DE ∴与平面ABC 不垂直．
19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知
1,3,2AB AC AA BC CF ====. (1)求证:1C E ∥平面ADF; (2)若点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF? 分析：（1）要证明ADF E C 平面//1，可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行. Ⅰ.要在平面ADF 中到与E C 1平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过E C 1的平面与平面ADF 的交线OF ，这里注意O 为ABC ∆的重心，（12=OE CO ），再利用比例关系证明OF E C //1从而
证明结论.
Ⅱ.取BD 中点M ，可通过证明面ADF ME C 平面//1，证明ADF E C 平面//1 解：（1）连接CE 交AD 于O ，连接OF ．
因为CE ，AD 为△ABC 中线，
所以O 为△ABC 的重心，12
3CF CO CC CE ==． 从而OF//C 1E ． OF ⊂面ADF ，1C E ⊄平面ADF ， 所以1//C E 平面ADF ． （2）当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ． 在直三棱柱111ABC A B C -中， 由于1B B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面B 1BCC 1，所以平面B 1BCC 1⊥平面ABC ． 由于AB =AC ，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．又平面B 1BCC 1∩平面ABC =BC ，
所以AD ⊥平面B 1BCC 1． 而CM ⊂平面B 1BCC 1，于是AD ⊥CM ． 因为BM =CD =1，BC = CF =2，所以Rt CBM ∆≌Rt FCD ∆，所以CM ⊥DF ．
DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ． CM ⊂平面CAM ，所以平面CAM ⊥平面ADF ． 当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF 20．已知正三角形PAD 所在的平面与直角梯形ABCD 垂直，AB AD ⊥， //AB CD ，且2AD DC ==,4AB =． （1）求证：AB PD ⊥；
（2）求点C 到平面PAB 的距离；
（3）在线段PD 上是否存在一点M ，使得//AM 平面PBC ． 20．【解析】（1）PAD ABCD PAD ABCD AD AB PAD AB PD AB ABCD PD PAD AB AD ⊥⎫⎪=⊥⎫⎪⇒⇒⊥⎬⎬⊂⊂⎭⎪⎪⊥⎭面面面面面面面 （2）由C PAB P ABC V V --= 即1133PAB ABC h S PE S ∆∆⋅=⋅
3h =（或过D 作PA 的垂线，求垂线段的长） （3）假设PD 上存在点M ，使得//AM 平面PBC . 在平面PDC 内过点M 作//MN DC 交PC 于N ，连接BN , 则////AMNB PBC NB AM PBC AM NB AM PBC =⎫
⎪
⇒⎬⎪⊄⎭
面面面面 又//////MN CD MN AB CD AB ⎫⇒⎬⎭， 所以平面AMNB 是平行四边形 ，所以MN AB = ，这与MN CD AB <<；矛盾，所以假设不成立，
即在线段PD 上不存在一点M ，使得//AM 平面PBC .
21.如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1
AO ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，
∴DB ⊥平面11A ACC ，而1
AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132AO a =，2
234
MO a =． 在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵222
11A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． A
B C D E
图1
A B C D E F P 图2 N P C B A D H M
3 / 4
评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． 22.如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面
PBC ．求证：BC ⊥平面P AC ． 证明：在平面P AC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． 因为平面P AC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ， AD ⊂平面P AC ，
且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．
∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ．
∵AD ∩P A =A ，∴BC ⊥平面P AC ．
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平
面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中
蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定
性质
线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． 23.如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥． 证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面
SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．
评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面
垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．
24.如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，
作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．
证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ．
∵AC BC =，∴CF AB ⊥．
∵AD BD =，∴DF AB ⊥．
又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ．
∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥．
又CD BE ⊥，BE AB B =，
∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =， ∴ AH ⊥平面BCD ．
评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂
直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．
25如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥
PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．
证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥．
∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ． ∵BC ⊂平面PBC ，
∴平面APC ⊥平面PBC ． ∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ，
∴AE ⊥平面PBC ． ∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ． 评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂
直则需从已知条件出发寻线线垂直的关系．
26.如图, 在空间四边形SABC 中, SA ⊥平面ABC , ∠ABC = 90︒, AN ⊥SB 于N , AM ⊥SC 于M 。求证: ①AN ⊥BC; ②SC ⊥平面ANM 分析:①要证AN ⊥BC , 转证, BC ⊥平面SAB 。 ②要证SC ⊥平面ANM , 转证, SC 垂直于平面ANM 内的两条相交直线, 即证SC ⊥AM , SC ⊥AN 。要证SC ⊥AN , 转证AN ⊥平面SBC , 就可以了。 证明: ①∵SA ⊥平面ABC ∴SA ⊥BC 又∵BC ⊥AB , 且AB SA = A ∴BC ⊥平面SAB ∵AN ⊂平面SAB ∴AN ⊥BC
②∵AN ⊥BC , AN ⊥SB , 且SB BC = B ∴AN ⊥平面SBC ∵SCC 平面SBC ∴AN ⊥SC 又∵AM ⊥SC , 且AM AN = A ∴SC ⊥平面ANM
27.在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．
（1）求证：AB ⊥BC ； （1）【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面
SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ， 又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ， ∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ． 28.如图9—41，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA=AD=a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． （1）求平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND ⊥平面PCD （1）【解】PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴PD ⊥CD ，故∠PDA 为平面ABCD 与平面PCD 所成二面角的平面角，在Rt △PAD 中，PA=AD ， ∴∠PDA=45° （2）【证明】取PD 中点E ，连结EN ，EA ，则EN 21CD AM ，∴四
边形ENMA 是平行四边形，∴EA ∥MN ． ∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥平面PCD ，从而MN ⊥平面PCD ，∵MN ⊂平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD ． 【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN ⊥平面PCD 较困难，转化为证明AE ⊥平面PCD 就较简单了．另外，在本题中，当AB 的长度变化时，可求异面直线PC 与AD 所成角的范围． 29.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、BC 、C 1D 1、B 1C 1的中点． （1）求证：平面MNF ⊥平面ENF ．（2）求二面角M —EF —N 的平面角的正切值． （1）【证明】∵M 、N 、E 是中点，∴M C NC N B EB 1111===∴︒=∠=∠45MNC ENB 11 ∴︒=∠90MNE 即MN ⊥EN ，又NF ⊥平面A 1C 1，11C A MN 平面⊂∴MN ⊥NF ，从而MN ⊥平面
4 /
4
ENF ．∵MN ⊂平面MNF ， ∴平面MNF ⊥平面ENF ． （2）【解】过N 作NH ⊥EF 于H ，连结MH ．∵MN ⊥平面ENF ，NH 为MH 在平面ENF 内的射影， ∴由三垂线定理得MH ⊥EF ，∴∠MHN 是二面角M —EF —N 的平面角．在Rt △MNH 中，求得MN=22a ，NH=33a ，
∴tan ∠MHN=26
=
NH
MN ，即二面角M —EF —N 的平面角的正切值为26
．
30.，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．
（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离． （1）【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，
又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，
∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，
又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF 21
CD 又AE 21
CD ，牛顿环
∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ，
场强∴平面PEC ⊥平面PCD ． （2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC
∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，
而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PF
CD
FH =
，设AD=2，∴PF=2，PC=32482
2
=+=+CD PD ，
∴FH=3623
22=
⋅∴A 到平面PEC 的距离为36．
31．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． （1）【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径 ∴BC ⊥AC ；
又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ⊂平面PBC ，
∴平面PAC ⊥平面PBC ．
（2）【解】平面PAC ⊥平面ABCD ；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面
ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD ． 32．ABC —A ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a ，D ，E 分别是BB ′，CC ′上的一点，BD ＝21
a ，EC ＝a ．
（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC ′A ′； （2）求截面△ADE 的面积．
（1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结MN ， 则MN ∥A ′A ∥B ′B ，
∴B ′、M 、N 、B 共面，∵M 为A ′C ′中点，B ′C ′=B ′A ′，∴B ′M ⊥A ′C ′，又B ′M ⊥AA ′且AA ′∩A ′C ′=
A ′
∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′． 设MN 交AE 于P ，
淮安pm2.5∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝2a
．
又DB ＝21
a ，∴PN ＝BD ．
∵PN ∥BD ， ∴PNBD 是矩形，于是PD ∥BN ，BN ∥B ′M ， ∴PD ∥B ′M ．
∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，
∴PD ⊥平面ACC ′A ′，而PD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′． （2）【解】∵PD ⊥平面ACC ′A ′，
∴PD ⊥AE ，而PD ＝B ′M ＝23
a ，
AE ＝2a ．
∴S △ADE ＝21
×AE ×PD ＝21
×246232a
a a =⨯．
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