第20卷第4期2003年11月
工程数学学报
JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS
VOI.20NO.4
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NOV.2003文章编号：1005-3085（2003）04-0134-03
王良曦，潘高田，薛孟君
（装甲兵工程学院军队指挥室，北京100072）
摘要：提出了非平稳过程功率谱密度的概念。证明路面谱密度就是非平稳随机过程Wiener过程的功率谱 密度。该结果对路面仿真以及为车辆振动提供输入激励的实时性和真实性具有很重要实际价值。关键词：路面谱密度；功率谱密度；仿真 分类号：AMS（2000）60J65中图分类号：O211.61文献标识码：A
1前言
平稳过程在满足一定的条件下相关函数与功率谱密度互为付氏变换对。但在工程中碰到随机过程通常是非平稳过程。如用平稳过程去近似，有时误差会很大。本文认为非平稳随机过程也应该具有功率谱密度，它们的相关函数与功率谱密度也应具有一定的对应关系。譬如通过大量的实验统计，发现不平路面的功率谱密度［1］可用下式表示：
S g（!）=
A
!2
（1）
式中!-长度频率，表示每米中某一波长出现的次数，单位为m-1，A-路面不平度系数，单位为m2/m-1。但不到一个平稳过程，它具有简洁的解析表达式（级数表达式除外），而且它的功率谱密度就是（1）。为此，本文对非平稳过程合理定义功率谱密度，从非平稳过程中到了一个随机过程，其功率谱密度就是（1）。这一结果对仿真的真实性和实时性具有很重要的意义。
2非平稳过程的功率谱密度
shendanjie文［2］从确定性信号的功率谱密度出发，定义了平稳随机过程信号X（I）的功率谱密度为
S X（!）=Iim
T#1
T
［l F X（!，T）l2］
其中F
X
（!，T）=$+
-
X T（I）e i!I d I
"收稿日期：2002-01-14.作者简介：王良曦（1941年5月生），男，学士，教授，研究方向：车辆振动，计算
机仿真.
中国特社会主义道路
X T （I ）=X
（I ），I !T 0，I >{T
在一定的条件下可以证明功率谱密度与相关函数具有互为付氏变换对的关系。由此，得到启发，对一个非平稳随机过程B （I ），也可以定义它的功率谱密度。
定义设有非平稳随机过程B （I ），如果
S B （!）=Iim T " l T
E ［I
F B （!，
T ）I 2］（2）存在，则称S B （!）
2019理论中文字幕
为随机过程B （I ）的功率谱密度。其中F B （!，
T ）=#-
X T （I ）e i !I c I 性质S B （!）为非平稳随机过程B （I ）的功率谱密度，则S B （!）=Iim T " l T #T 0#T 0R B （I ，S ）e -i !（S -I ）c I c S （3）
数字信息证明S B （!）=Iim T " l T
E ［I
F B （!，
T ）I 2］=Iim T " l T
E ［axl
F B （!，T ）F B （-!，
T ）］=Iim T " l T
#T 0#T 0E ［B （I ）B （S ）］e -i !（S -I ）c I c S =Iim T " l
T #T 0#T 0R B （I ，
S ）e -i !（S -I ）c I c S 它说明非平稳随机过程B （I ）的功率谱密度存在的充分必要条件是（3）式成立，也说明非平稳随机过程的功率谱密度和相关函数之间应具有的关系。
3应用举例
美国总统辩论Wiener 过程不是平稳过程，它的期望为零，相关函数是"2min （I ，S ）
，用上述定义可求出Wiener 过程的功率谱密度
S B （!）=Iim T " l T #T 0#
T 0"2min （I ，S ）e -i !（S -I ）c I c S ="2｛2!2-Iim T " 2Sin !T !3T ｝=2"2!2故
S B （!）=2"2!2（4）当车辆在不平路面行驶时要发生振动，为研究车辆振动性能，路面作为一个随机激励信
号进行输入。大量的实验证明路面的功率谱密度是（l ）。现在又证明了Wiener 过程的功率谱密度就是（l ）的形式，因此用Wiener 过程作为时域路面信号，对车辆振动分析时作为输入信号是合适的。
我们用Wiener 过程模拟路面波形时，横坐标为距离。图l 为-l00米长路面模拟的结果。图2是短距离（l0米）的波形。与图l 比较，可观察到主要特征一局部与整体的自相似性。
谱密度曲线如图3所示。图中同时画出了一条斜率为-2的直线。可以看出用Wiener 过程所产生的路面波形的谱密度的变化趋势与（l ）路面谱密度的趋势是非常一致的。利用
53l 第4$
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$期王良曦等：非平稳随机过程功率谱密度初探
Wiener 过程运动方法来模拟随机不平路面的波形是一种简单而有效的新的方法。
模拟结果与实际路面特性相符。大大提高了仿真的实时性与真实性。
距离（!）
图1模拟路面波形距离（!）图2局部波形
长度频率（1"!）
图3模拟路面的功率谱密度
参考文献：
［1］余志生.汽车理论［M ］.机械工业出版社，1998；5：173-175
［2］汪荣鑫.随机过程［M ］.西安：交通大学出版社，1987；12：71-73
An Elementary Research on Non-stationary Process Power Spectral
Density Function
WANG Liang-xi ，PAN Gao-tian ，XUE Meng-jun
（Armored Force Engineering Institute ，Beijing 100072）
Abstract ：A conception on non-stationary process spectrai density function is presented in this articie.It is proved that the road power spectrai density function is non-stationary processes Wiener process power spectrai density function.The resuit has great vaiue in simuiation of road and providing reai input signai for vehicie vibration.
Keywords ：the road power spectrai density function ；power spectrai density function ；simuiation 631工程数学学报第20!
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