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功率谱分析

三、功率谱分析

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周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|cn|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。

随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析

(一)自功率谱密度及其估计

各态历经随机信号的功率谱密度Sx(ω)与自相关函数Rx(τ)为傅里叶变换偶对，即

为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度Gx(ω)代替双边功率谱密度Sx(ω)，两者之间的关系为

自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。

江苏公路信息网1. 周期图

各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即

由此定义自功率谱密度及其估计为：

式中

表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度

(续)

X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由 FFT直接求出。由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。

自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式

电影白棉花以上两种估计都是自功率谱Sx(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。

两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱儒林外史的讽刺艺术)与窗谱W(ω)的卷积，即

Ŝx(ω)=Sx(ω)*W(ω)

窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真

以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。

为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。

2. 修正周期图

平均化和加窗处理可使改善的周期图估计质量提高，而且还可保留周期图便于应用FFT 计算速度快的优点。

(1) 平均周期图

把N点的长数据序列分成k段，每段数据点数为M=N/k; 求得各段周期图Ŝxi(ω)后再用平均法求得平均周期图Ŝxav(ω)。

平均处理使谱估计的方差减小为

当N一定时，段数K大则各段数据点数余姚瀑布茶M小，谱估计的偏差大、方差小、谱平滑但频率分辨率低;若K小、M大，则偏差小、方差大。

(2) 加窗谱估计

选择适当的窗函数ω(r)，对自相关估计序列x′(r)作加窗处理，然后求谱估计

加窗谱估计平滑、方差小，故又称为平滑周期图。常用窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁窗、海明窗和高斯窗等。

图12-7表示了分别用矩形窗、三角窗和汉宁窗分析同一数据所得结果。图a是被分析信号的真谱; 图b和c是用两种时宽的矩形窗分析的结果。可以看出，时域窗口窄，则频域分辨率低，两相邻谱线无法区分。图d和e表明三角窗和汉宁窗频率分辨率低，但旁瓣衰减快，谱的分布区域窄而边沿清晰。显然，应按信号的性质和处理要求适当选择窗函数。雷恪生小品

图12-7 窗函数效果比较

(3) 平滑平均周期图

平滑谱估计计算要求所选用的窗函数保证求出的谱估计非负，但有的窗函数不满足此要求。如果先将数据x(n)分段，求出分段数据的加窗谱估计，然后再将各分段谱估计作平均化处理，即可满足谱估计非负的要求，又可减小估计偏差和估计方差，使谱估计质量提高。按此法计算的谱估计称为平滑平均周期图。

N个数据x(n)分成k段，k=N/M。按照快速傅里叶变换的要求，将段内数据补零使 M=2γ(γ为正整数)。求取各段的加窗谱估计

然后用平均法求平滑平均周期图