⽂章⽬录
第⼋讲 功率谱密度
⼀、功率谱密度的定义
Part 1：傅⾥叶变换
之前我们对于平稳过程的研究，主要讨论了其⾃相关函数在时域上的性质。⽽这⼀节我们主要介绍平稳过程的⾃相关函数在频域上的等价描述，两者之间的联系就是傅⾥叶变换。⾸先了解⼀些概念。 设信号 是时间的函数， ，满⾜狄利克雷条件，且 ，则称 的傅⾥叶变换存在或称 具有频谱。狄利克雷条件括三⽅⾯： 1. 在⼀周期内，连续或只有有限个第⼀类间断点；
2. 在⼀周期内，极⼤值和极⼩值的数⽬应是有限个；
3. 在⼀周期内，信号是绝对可积的
定义傅⾥叶变换为
定义傅⾥叶逆变换为
其中 称为圆频率， 称为信号 的频谱。
信号 与频谱 之间有 Parseval 等式成⽴：
这⾥ 的含义是信号在 时刻的功率，因此积分 含义是信号的总能量。
Parseval 等式表明信号的总能量等于各谐分量能量的叠加。
Part 2：确定性信号的功率谱密度
x (t )t ∈R ∣x (t )∣d t <∫−∞∞
∞x (t )x (t )F (ω)=x x (t )e d t ,−∞<∫−∞∞
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−iωt ω<∞ .
x (t )=e F (ω)d ω ,−∞<2π1
∫−∞∞iωt x t <∞ .
ωF (ω)x x (t )x (t )F (ω)x x (t )d t =∫−∞∞2F (ω)d ω .
2π1∫−∞∞
∣x ∣2x (t )2t x (t )d t ∫−∞∞2
因为在⼯程技术中，通常会出现总能量 的情况，⽽信号的平均功率⼀般是有限的。所以我们需要改变研究对象，转向对平均功率的研究，其定义式为 为此利⽤傅⾥叶变换给出平均功率的谱表达式：
作 的截尾函数：
记 的傅⾥叶变换为
写出 的 Parseval 等式为
对等式两边除以 再令 ，可得 在 上的平均功率的谱表达式：2011优酷影视盛典
我们将等式右边中的被积函数定义为
这就是信号 在 处的功率谱密度。
Part 3：平稳过程的功率谱密度
x (t )d t =∫−∞∞
2∞x (t )d t <T →∞lim 2T 1∫−T T
2∞ .x (t )x (t )=T {x (t ) ,0 ,
∣t ∣≤T ,
∣t ∣>T .x (t )T F (ω,T )=x x (t )e d t =∫−∞∞T −iωt x (t )e d t .
∫−T T
−iωt x (t )T x (t )d t =∫−∞∞T 2x (t )d t =∫−T T 2F (ω,T )d ω .2π1∫−∞∞
∣x ∣22T T →∞x (t )(−∞,∞)x (t )d t =T →∞lim 2T 1∫−T T T 2F (ω,T )d ω=T →∞lim 4πT 1∫−∞∞∣x ∣2F (ω,T )d ω .2π1∫−∞∞
T →∞lim 2T 1∣x ∣2S (ω)=x F (ω,T ) .T →∞lim
2T 1∣x ∣2x (t )ω
我们可以将平稳过程 看成⼀个随机信号，此时依然有 Parseval 等式：
与确定性信号不同，我们在定义平稳过程的平均功率时，需要将其定义在数学期望的意义下：
即平稳过程的平均功率等于该过程的⼆阶矩。
在数学期望的意义下，将 Parseval 等式右边中的被积函数记为
在频域中称之为平稳过程 在 处的功率谱密度。
利⽤ 及 简化等式得到
称为平稳过程 的平均功率的谱表达式。
谱密度 也是描述平稳过程 的统计性质的重要的数字特征之⼀。
⼆、功率谱密度的性质
Part 1：维纳-⾟钦公式
定理： 是 的实函数，并且是⾮负的偶函数。
{X (t ):−∞<t <∞}X (t )d t =T →∞lim 2T 1∫−T T 2F (ω,T )d ω .2π1∫−∞∞
T →∞lim 2T 1∣X ∣2E X (t )d t =T →∞lim [2T 1∫−T T 2]E X (t )d t =T →∞lim 2T 1∫−T T
[2]R (0) ,X S (ω)=X E F (ω,T ) ，T →∞lim
2T 1[∣X ∣2]{X (t )}ωS (ω)X R (0)X R (0)=X ψ=X 2S (ω)d ω ,2π1∫−∞∞
X {X (t )}S (ω)X {X (t )}S (ω)X ω
我们利⽤ 和 的关系来证明这个结论
⾸先证明 也是 的实函数，并且是⾮负的偶函数。因为 是⼀个复值函数，其共轭为
⼜因为⼀个复数的模的平⽅⼀定是⾮负实数，且可以表⽰为该复数与其共轭复数的乘积，所以
从⽽容易得出 也是关于 的偶函数的结论。
因为 是 的均值的极限，所以 也必是 的实函数，并且是⾮负的偶函数。定理（维纳-⾟钦公式）：功率谱密度 和⾃相关函数 是⼀组傅⾥叶变换对，
S (ω)X ∣F (ω,T )∣X 2S (ω)=X E F (ω,T ) .T →∞lim
2T 1[∣X ∣2]F (ω,T )=∣X ∣2
F (ω,T )F (−ω,T )X X ωF (ω,T )X =F (ω,T )X =X (t )e d t ∫−T T
−iωt x (t )e d t =∫−T T iωt F (−ω,T ) ,
X F (ω,T )=∣X ∣2F (ω,T )=X F (ω,T )X F (ω,T )=∣X ∣2F (ω,T )F (−ω,T ) .
X X ∣F (ω,T )∣X 2ωS (ω)X ∣F (ω,T )∣X 2S (ω)X ωS (ω)X R (τ)X S (ω)=R (τ)e d τ ,X ∫−∞X −iωτR (τ)=S (ω)e d ω .
X 2π1
∫−∞∞X iωt
证明：
定义
则有 ，于是
反之由傅⾥叶逆变换的定义得证。S (ω)X =E F (ω,T )T →∞lim 2T 1[∣X ∣2]=E X (t )e d t T →∞lim 2T 1⎣⎡∣∣∣∣∣∫−T T −iωt ∣∣∣∣∣2⎦⎤=E X (t )e d t T →∞lim 2T 1[∫−T T
−iωt X (s )e d s ∫−T T
克伦威尔−iωs ]=E X (t )X (s )e d t d s T →∞lim 2T 1[∫−T T ∫−T T −iω(t −s )]=R (t −s )e d t d s T →∞lim 2T 1∫−T T ∫−T T X −iω(t −s )1−R (τ)e d ττ=t −s τ=t +s 1T →∞lim ∫−2T 2T (2T ∣τ∣)X −iωτR (τ,T )=
X ⎩⎨⎧1−R (τ) ,(2T ∣τ∣)X 0 ,∣τ∣≤2T ,∣τ∣>2T ,R (τ,T )=T →∞lim芳纶头盔
自杀的方法X R (τ)X S (ω)=X R (τ,T )e d τ=T →∞lim ∫−∞∞X −iωτR (τ,T )e d τ=∫−∞∞T →∞lim X −iωτR (τ)e d τ .
∫−∞∞X −iωτ月朗星稀夜
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