任芳玲;丁继飞
【摘 要】期权具有管理波动率风险的使命,故而波动率分析是期权投资者的重要维度,对于股指期权定价中波动率的研究,传统的方法计算量大,且不易求出,本文针对历史波动率、已实现波动率和隐含波动率,利用MATLAB语言,得出了更为精准的波动率估计方法,为期权定价问题提供了重要的依据参数. 【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(037)003
【总页数】5页(P32-36)
【关键词】股指期权;历史波动率;已实现波动率;隐含波动率;MATLAB语言
【作 者】任芳玲;丁继飞
【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000
【正文语种】中 文
【中图分类】F830.9
股指期权仿真交易在各个金融市场如火如荼地进行着，吸引了许多市场投资者的目光，作为一种在全球范围内进行的交易方式，它是金融衍生品中较为突出的一种。怎样正确认识此类期权并进行合理定价已成为一个研究热点，如邵函瑜的《中国上市公司股票期权行权价格的影响因素研究》[1]中指出股指期权投资最重要的三个预测是标的资产的价格变化、期权到期期限的变化和期权波动率的变化，所以标的资产价格变化过程中方向性变化的特征，时间消耗的程度，波动率变化的幅度都会对期权价值产生重要的影响[2]。故而波动率会对期权投资者的交易决策产生显著影响，如祝建民的《期权定价中的波动率估计》[3]中就把波动率当作衡量期权投资的重要维度标，股票投资者们将波动率作为判断未来期权价格趋向的对比参数，通过它的一些变化特性，来决定对期权投资的态度。
波动率一般是用价格连续复利收益率的标准差来定义的，但是我们对它的认识并不全面，简单来说波动率是可以体现价格波动的百分比值，用来直观的表现期权价格波动的增减幅度，即期权价格变化的剧烈程度，它不会考虑期权价格波动的方向性，故投资者们想在期权交易中盈利，就应利用波动率来进行交易。本文以上证50股指期权作为研究对象，在文章《基于B-S模型的上证50ETF期权定价研究》[4]理论研究的基础上，给出了上证50股指期权历史波动率的MATLAB 算法。结合王国华的《中国股票市场日内波动率研究》[5]中OHLC计算方法，给出了上证50股指期权已实现波动率的MATLAB 算法，最后结合经典B-S定价模型，给出隐含波动率的两种MATLAB算法。
1 历史波动率
历史波动率[6]是借助历史股票价格数据得出的一个具体波动率数值，用来反映标的资产价格在过去某时间段内所表现出来的波动幅度。在股票交易市场中，历史波动率反映出来的是标的资产的价格波动幅度的大小。但是，由于股票的价格波动很难预测，我们只能借助于历史波动率对期权价格来进行认知，通常情况下仅作为参考依据。 1.1 历史波动率的估计方法网络恐怖主义
(1)百分比价格变动法
其中：Xi是资产的百分比收益，pi是前一天的资产价格，pi+1是当天的资产价格。弥凝
(2)对数价格变动法
需注意的是，以上两种计算公式的假设条件不同，百分比价格公式中假设价格是固定且不连续变化的，对数价格变化公式中假设价格是连续变化的。在B-S模型中，假设价格的变动是连续性的，可以利用连续利率因子e-rT，将敲定价格转换成现值推导得到。所以对数价格公式是用来确定波动率的合适公式。通过资产价格的对数收益求其平均值然后导出历史波动率的估计值。
其中，n为样本数量，σ 为自然对数价格的平均离差，即为标准差。假设我国股票交易市场中一年有246个交易日，则年波动率为
1.2 利用MATLAB方程求解历史波动率
以上证50股指期权为研究对象选取数据，如表1所示：
表1 2018年1月2日至2018年2月5日上证50股指期权收盘价日期序号收盘价(p)2018年1月2日12908.732018年1月3日22913.262018年1月4日32919.482018年1月5日42932.362018年1月8日52947.762018年1月9日62969.322018年1月10日72995.562018年1月11日82997.042018年1月12日93018.602018年1月15日103048.812018年1月16日113063.862018年1月17日123076.182018年1月18日133106.552018年1月19日143117.822018年1月22日153130.332018年1月23日163176.502018年1月24日173180.332018年1月25日183157.462018年1月26日193172.782018年1月29日203120.702018年1月30日213079.122018年1月31日223116.832018年2月1日233141.232018年2月2日243149.642018年2月5日253181.34
(1)利用百分比价格变动法计算
国家海洋局极地办第一步、在MATLAB命令窗口中输入由价格数据组成的数组p.
>>p=[2908.73 2913.26 2919.48 2932.36 2947.76 2969.32 2995.56 2997.04 3018.6 3048.81 3063.86 3076.18 3106.55 3117.82 3130.33 3176.5 3180.33 3157.46 3172.78 3120.7 3079.12 3116.83 3141.23 3149.64 3181.34];
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第二步、在数组中选择数据.
>> p1=p(1:end-1);
>> p2=p(2:end);
第三步、在命令窗口中输入百分比价格变动法公式.
>> X=(p2-p1)./p1;
第四步、利用MATLAB自带函数std计算标准差陕北
>> x=std(X)
输出运行结果
x = 0.0073。
即历史波动率为0.0073
(2)利用对数价格变动法计算
第一步和第二步与(1)相同
第三步、在命令窗口中输入对数价格变动法公式
>>Y=log(p2./p1) ；
第四步、利用std函数计算标准差
>>y=std(Y)
输出运行结果
y = 0.0073
即历史波动率为0.0073，这个结果与(1)相同。
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2 已实现波动率
已实现波动率是一种针对频率高的数据来进行计算的波动率度量方法，又称为日内波动率。我们通常把以小时、分钟或秒作为计量单位所采集的频率数据称为这个时间下的高频
率数据。高频率数据具有的市场波动信息比较全面，所以对于高频率数据的度量是一类会对市场波动性描述更加真实的描述方法。已实现波动率的度量方法对参数的要求不是太高，它所需要的数据参数比较简单，因此这种度量波动率的方法的应用更加受到研究者的关注，并且在波动率的未来研究中会更加广泛的应用。
2.1 已实现波动率的度量方法
目前，高频数据的波动情况通常用已实现波动率度量。常用计算方法是Garman & Klass(1980年)提出的日内波动率估算法OHLC方法。
这种计算方法采用的样本数据为某日内的开盘价(Open)、最高价(High)、最低价(Low)和收盘价(Close)这几个参数来计算历史波动率的，这种计算方法所用的数据波动率要比前述的历史波动率高。OHLC计算方法的名称的由来是选取了每个参数变量的首字母。具体公式为：
。
其中：σt指的是t时刻的波动率，PtH指的是t时刻的最高价，PtL指的是t时刻的最低价，Pt
O指的是t时刻的开盘价，PtC指的是t时刻的收盘价。
通过研究发现，利用OHLC方法计算出来的日内历史波动率会有很较强的均值回归性，它自己有一个大致的运行区间以及运行规律，这样一来，研究者对波动率的研究就会更容易一些，我国的一些研究者发现在使用以下计算公式更为简单方便，具体的计算公式如下[7]：
公式中的参数代表的含义同上。OHLC计算公式的优点在于它综合的考虑了t时间内的价格，较为全面地衡量了t时间的波动大小。
2.2 利用MATLAB方程求解已实现波动率过程
本文以上证50股指期权2018年2月5日的股指数据作为研究对象，开盘价PtO=3098.67，最高价PtH=3181.59，最低价PtL=3095.99，收盘价PtC=3181.34。在以下计算过程中用x表示σ.在MATLAB命令窗口中输入以下命令：
>> O=3098.67; H=3181.59; L=3095.99;
C=3181.34;
>> x=sqrt(0.5*log(H/L)-(2*log(2)-1)*log(C/O))
输出运行结果
x = 0.0589
即该股票在当天的日内波动率为0.0589。也就是说它的已实现波动率为0.0589。
3 隐含波动率
在经典B-S期权定价公式中涉及的主要变量有6个，分别是:标的资产的价格S、执行价格K、无风险利率r、期权的到期期限T 、红利率q和波动率σ。在股票价格服从对数正态分布，不考虑佣金和手续费，允许卖空的情况下，欧式期权的定价公式为
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