第37卷第12期____________________________计算机仿真_________________________________2020年12月文章编号：1006 -9348(2020)12 -0177 -08
郭鑫源，岳建海，郑义
(北京交通大学机械与电子控制工程学院，北京1〇_)
摘要：压电陶瓷自问世以来以其经济实用、结构简单的优点，得到了广泛的应用，现如今，利用压电效应制作而成的传感器被 应用于生活的各个场景之中，桥梁隧道中多采用压电元器件为传感器提供电源。通过对单晶压电悬臂梁结构中的各个因素 进行控制变量的研究，分析了不同的结构设计对压电俘能器件的电压或者相位带来的效益，得出了频率和尺寸之间的联系，对于不同阶次下的模态进行了阐述，同时总结了在实际的应用中，结构设计方面应注意的问题。 关键词：压电陶瓷；谐响应；模态；振型
中图分类号:TP391. 9 文献标识码：B
The Modal and Harmonic Response Analysis
of Single Piezoelectrical Chip
GUO Xin - yuan, YUE Jian - hai,ZHENG Yi
(School of Mechanical,Electronic and Control Engineering,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044, China)
A B S T R A C T：The piezoelectric chips have been widely used due to its advantage of economic benefit and simply
structure since it has been explored.And now,the sensors which are made of piezoelectric effect have been put into use in every aspect of life.In order to monitor the healthy status,people use the piezoelectric element to power the sensors in the bridges and tunnels.This paper made searches on some variables related to the cantilever beam with single piezoelectric chip,analysed the gain at various conditions,and expounded the modal at different orders.Furthermore,the problems which need to be focused in the practical application weresummarized.
K E Y W O R D S：Piezoelectric；Harmonic response；Modal；Mode shape
i引言
自然界中大量存在的化石能源，为人类的生存和发展做 出了巨大的贡献，驱动了汽车轮船等交通工具，保证着各种 矿山机械的正常运转，化石能源是当今世界使用量最大的能 源，然而，化石能源在保证社会正常运转的同时，也带来了不 小的环境问题，化石能源的燃烧会产生大量的温室气体，引起温室效应。以汽车为例，现阶段我国不少城市为保证空气 质量，实行了机动车尾号限行机制，同时，有不少国家也已经 出台政策，明确规定了燃油车禁售时间。随着自然界化石能 源的日益短缺，人们对于清洁能源的需求更加强烈，近几年 来，太阳能、风能、潮汐能等资源地大量应用，从很大程度上 解决了这一问题：清洁能源的使用，不仅提供有效的能源补 给，充分提高能量的利用效率，同时做到了无污染或较少的
基金项目：中国铁路总公司科技研究开发计划课题(2017J004 - H)
收稿日期:2019-04-22修回日期:2019-08-13污染排放。
压电学的历史，开始于1880年，居里兄弟从电气石中发 现了电气石的压电效应，从此，正式揭开了压电学的发展序幕。在第一次世界大战中，郎之万利用压电效应，成功研制 出了水下超声波探测器，将其应用于战争中。压电学发展至 今天，已经从昔日的军工级应用大量转向于民间运用，例如：燃气灶的打火开关、电话中声传感器以及超声马达、引燃引 爆装置和各种利用压电工作原理制成的传感器等。
压电振动能量采集器，区别于电磁式和静电式的能量采 集器。电磁式和静电式的能量采集器，往往需要较大的空间，同时需要外接的独立电源，才能保证设备的运行。压电 式的能量采集器，仅依靠外界的自然振动。随着科技的发展，在桥梁、机械设备等全寿命周期的安全检测中，往往需要 传感器的存在，对整个系统的运行状态进行实时的监测和判 断[1]。而设备的供电问题，往往受限于自然条件和经济成本。压电式的传感器就可以利用设备或结构自身的动力学 特性，为传感器供电。
—177—
2理论基础
根据压电片的工作原理，可以将其分为两大类：正压电效应和逆压电效应[2]。
正压电效应是指对压电材料施加一定的压力，压电片内 部会产生极化现象，压电片的上下表面会产生不同种的电荷，从而使得压电片的上下表面产生电势差，当外力撤去之 后，晶体上下表面电势差重新恢复为零。如图1所示。
T
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ H
f极
化
方
向
图1正压电效应和介电耦合关系的重要物理参数。
逆压电效应则是在压电片的上下表面施加一定的电压 信号，晶体会在电场力的作用下，产生相应的形变。如图2所示。
+和♦ ♦ ♦ f
k极
化
方 $
i
1-----
向；
--*
图2逆压电效应
逆压电效应由于自变量是电场，因变量是形变和位移, 因此，逆压电效应的表达式为
S = d'E
在压电晶体发生正压电效应时，晶体所产生的电荷与压 电单晶所受的应力成正比，其表达式为
—dm j Tj
D m= em l.S,(1)其中•为电位移为压电应变常数，为压电应力常数, 乃为应力分量名为应变分量。其中m= l,2,3“,;_= l,2,3, 4,5,6。其中m的值1,2,3，分别代表轴。
表达为矩阵形式如下所示
-〇r'd u^12^13^14^15d l6~
=
d2\<f22^23
^24^25^26
-〇r^31^32^33^34^35^36
-〇r e i2C13^14e l5e16l =e21e22e23e24e25e26 -Z)3-L e31e32
e33e34e35C36
-T,-
t2
T,
Ts
-t6-
-v
s2
s,
St
Ss
-S6-
(2)
压电常数e和均为三阶张量，是反映压电晶体的弹性
T = e'E
其中、e‘分别为压电常数的转置矩阵。
针对于压电材料，其存在两种边界条件，分别为：机械边 界条件和电学边界条件两类，其中机械边条件分为机械自由 和机械加持两种，电学边界条件分为电学开路和电学短路两种。
机械自由边界条件是指压电振子的中心被加持，边界可 以产生自由形变，边界的应力为零或者常数；机械加持边界 条件，则是指压电振子可变性的边界被刚性加持，不能自由 行遍，此时必有应变等于零或者常数。
电学短路边界条件是指压电振子内电场强度为零或者 常数，而电位移不为零或常数；电学开路条件则是指，电位移 等于零或者常数，压电振子内的电场强度不为零或者常数[2]。
详见表1。
对于上述的四种边界条件，对应着四类压电方程：
第一类压电方程：
在第一类边界条件中，应力r和电场强度£为自变量，应变s和电位移/)为因变量，相应的压电方程也被称之为第 一类压电方程，也称^型压电方程如下所示
D = dT + eT E
名古屋 南京S = s ET + d,E(3)
表1压电材料的四种边界条件
类别名称特点可测常数第一类边界条件机械自由和电学短路T =0,C；S^O,C；£= 0,C；D#0,C
第二类边界条件机械加持和电学短路S=O y C；T^O,C；E= 0,C；Z)^0,C
第三类边界条件机械自由和电学开路T =0,C；S^O,C；D= 0,C；£：#0,C
第四类边界条件机械加持和电学开路S=o,c；r^o,c；D= 0,C；i?7^0,C
式中d为压电常数;4为的转置4为单行柔顺常数，，为介电常数。
第二类压电方程:
178—
当应变S和电场强度£：为自变量，应变量为应力r和电 较大的机械应变。33模式在工作时，尖端要放置足够合适的位移〇时，适用于第二类压电方程，也称e型压电方程如下 重量块，以降低固有频率W。
所示
T = cE S - e,E
D = S + e E(4)式中为弹性刚度常数;e为压电应力常数;f为夹紧压电 常数,e，为e的转置。
第三类压电方程：
当应力r和电位移Z)为自变量，应变S和电场强度£为因变量时，适用于第三类压电方程，也称g型压电方程如下 所示
S = s DT + g,D
E= _ g T+ pT D(5)式中为开路弹性柔顺系数，矿为自由倒介电常数，/为 的倒数¥为压电电压系数;g，为g的转置。
第四类压电方程：
当应变s和电位移Z?为自变量，应力r和电场强度£为 因变量时，适用于第四类压电方程，也称型压电方程如下所示：
T = c DS - h,D
E = - h s + ^D(6)式中,cf l为开路弹性刚度系数;#为夹紧倒介电系数^是W 的倒数；为压电系数;/i，为电场强度系数。
压电片的工作模式分为两类，分别是31模式和33模式[3]。如图3所示。
33 M ode
r
针对于本文研究的压电振子，其边界条件为机械自由边 界条件和电学短路边界条件，即第一类边界条件，因此应选 用d型压电方程。
对于单晶式压电悬臂梁，悬臂梁在尾端受力或受到位移 的情况下，根据材料的弹性理论，压电片的应力和应变的关系为
TP= EP(St -f t,£>3)
£3=-e,J P +A r3〇3(7)其中,S，表示*方向的应变:S, = -pz。
式中，p代表曲率半径;7；代表z的应力;g31代表压电材 料的压电电压常数;&代表压电材料的杨氏模量，込代表2 方向的电位移代表z方向的电场强度代表介电隔离率，为4的倒数。
压电悬臂梁在受力后，梁结构会产生形变，压电片上下 表面会产生电荷，对于单晶的压电悬臂梁，首先确定其变形 后中性层的位置，变形后，单晶片到中性层的距离为
EP^+Ep hm(hp+^)
Z$= ^Ep+hp+Emh m~
_ h (1 -a)2+a0{2 -a),.
~ 21-a+ o/3W
其中，分别为压电层和基板层的厚度；是金属基板 的杨氏模量，/8=心/£，为弹性模量之比。
在压电梁受到外力作用时，力矩方程为
W Z s W Z x~Z p
M = nj J zTp dydz + J J zTmdydz = (x - L)F(9)〇Z s-h p〇-(h-Z s)
其中,n为压电片数量;IT代表压电梁的宽度；=£^5，是基 板在a：方向的应力。
由上式可得
图3压电片的33和31工作模式
图中的1、2、3三个坐标轴分别表示三个坐标轴。通常情况下，压电片的工作模式为33模式，表示电压和应力 都集中在3轴的方向（也即z轴方向）；同时，压电片也可以 以31模式进行工作，在该模式下，电压和应力的方向不在同 一个轴上，例如，电压施加方向为3轴，应力方向为1轴（也 可反之）。两种模式有着不同的应用场景，31的工作模式要 求使用的场景有着足够大的应变变化，同时，该模式普遍应 用于双晶工作模式下，但该模式也有缺点，例如，机电耦合系 数要低于33模式，但其优点在于能够用一个较小的力产生
j j ^EP(S, - g^D^dydz
〇2s-hp
W z»-^p
+ J J zEmSx dydz = (x - L)F
〇-(h-z s)
浅沼稻次郎从而可得压电梁的曲率半径为
(10)
毛集论坛P
6
r[2(l- a + c^)(x - L)F +
AEpWh.3
a(l-a)fiWh2gM Ep D3](11)其中/l=a4(l_^)2 -2a(2a2 —3a+2)(l _芦）+1 代人计算，同时对电场强度积分可得电压
Z s l
V
其中
J t= a - x)F+
(12)
B = /4(1 - a + a f i)(1 + k]{)
179
—
仿真采用S 0U D 5单元模拟压电片，采用SOUD 45单元 模拟基底和尖端质量块[1]。通过建立不同条件下的的模型 来分析其各阶频率的变化，以及在谐响应的条件下压电片所 产生的对应电压值和其相位的变化。
仿真所采用的悬臂梁模型[6]如图4所示。
针对于不同长度的基板，由2节中的理论研究可以得 到，长度对于频率的影响关系[7]，可以发现，系统的固有频率 会随着基板长度的增加而不断减小。通过A N S Y S 的仿真建 模分析，分别验证了悬臂梁长度在50mm ~90m ra 之间系统 的固有频率的变化。对应的不同长度下的频率如图5所示。
图S 不同基板长度下各阶频率变化
五点法
从图5中可以在直观的看到，在同一长度下，系统的各
阶频率随着阶次的递增而逐渐增大；对于同一阶次的固有频 率，则会随着长度的增加而逐渐减小。
在A N S Y S 中进行谐响应分析，设置扫频频率从1HZ 至 50H z ，可以得到不同长度的压电片输出电压的曲线，如图6
所示：
由于谐振频率设定与1H z ~50H z 之间，因此由图5可 知，系统只能满足一阶谐振频率，从图6中可以看出，不同长 度的压电片所得到的电压峰值都出现在该对应长度的一阶 谐振频率处[8]，同时，可以发现，随着压电片基板长度的增 加，电压峰值出现的频率点会随之降低，电压的峰值也会随 之升高。
由于压电悬臂梁会一直处于上下振动之中，因此，所产 生的点也是交流电，相位对于交流电也是一个重要的参数，
3a 2 (1 -a )^k]x,k \x = ^
31^3 改写为电位移形式D } = ,,(1
- a ) x ^gi I (x - L) F + AhWV^
~ (1 -a )^BWh2
对电位移进行面积分，得到电荷量
W L
Q = [{o^dxdy
00
(1 - a + 〇i P )L21(13)
-a +o ^)L r 飞 a F
AWhV
(1 -a )i J
〇4)
对于装置本身的发电量，可忽略，即V = 0，则仅外力作 用时候，产生的电荷量为
食品工业科技采编平台
3〇y 3( 1 - a + a f i )g}l L2
压电振子电容为
Pl,Bh2
C
一
(1 - a + c x P )A W L
(1 - a )pl3Bh
由
=
得，开路电压：K
3a (l - a )Pgi x L
AWh
F
(15)
(16)
(17)
电能：Ug = QgV/2
9(1 - a )(l - a + oiP )(x^k\xLl
lABE^h1合肥pm2.5
F2
而对于固有频率的分析，建立运动微分方程，可得
(18)
3EJS
U ~
mg
d2S
lT t
(19)
库中,s =g ，式中，p 为所受力的大小,i 为悬臂梁长度,£
为弹性模量，■/为抗弯惯性矩。
通过求解，可得 S = 4cos A
+ Bsin
'^J t + 3E J '
7
dS
由初始条件,*=0,3=知,1=0，解出
8 = 5〇 - "l^-c o s i t
3EJ
3EJ
(20)
因此/=
2
tt
m mL3
■/2tt 。
3有限元仿真分析
仿真及实际应用中，所广泛采用的结构为悬臂梁式的压
电模型，该模型具有结构简单、经济适用、易于制造和仿真、 能量转换率髙等优点，因而被广泛采用[4’5]。
通过A N S Y S 软件进行建模仿真分析。A N S Y S 是一款极 为优秀的有限元分析软件，可以进行结构、力学、流体、电磁、 声学等多种复杂仿真，也可进行多物理耦合场的分析，同时 可以与主流的建模软件、数据分析软件建立接口，扩大了其 兼容性[5]。
F T T T T ^
—180
—
—•— L=50mm ~•— L=SSmm ▲ L=60mm ▼ L=65mm —♦— L=70mm < U75mm
图6不同基板长度下谐响应分析
对于不同长度下相位的变化，如图7所示。
20
3<
FREQ /Hz
图7不同基板长度下相位变化
从图8中可以看出，在同一宽度下，压电悬臂梁的各阶 频率随着阶次的递增而呈现上升态势；对于某一阶的频率， 不同的宽度条件有着不同的频率大小，且该数值随着宽度的 增加而增大。
对不同宽度的悬臂梁系统进行谐响应分析，所得到的不 同宽度的压电片在谐响应过程中的电压变形如图9所示。
FREQMz
图9不同基板宽度下谐响应分析
从图9中可以看出，不同宽度下，系统的最高电压值，基 本不会随着宽度的改变，发生剧烈的变化，同3. 1节中长度 的变化所引起的各个结果的剧烈变化相比，该趋势要缓慢
的多。
对不同宽度下电压的相位进行仿真分析，得到的曲线如 图10所示。
从图7可以看出，不同长度下，相位变化的趋势基本一 致，在长度增加时，相位会更早的从180°开始变化，也会更早 的趋近于0°，同时可以从图中读出，长度增加，该趋势逐渐 减缓。
3.2不同宽度基板对于各阶频率和谐响应电压的影响
针对于不同长度的基板，由2节中的理论研究可以得 到，宽度对于频率的影响关系[7]，可以发现，系统的固有频率 会随着基板长度的增加而不断减小。通过A N S Y S 的仿真建 模分析，分别验证了悬臂梁宽度在3 -7mm ~ nrni 之间系统 的固有频率的变化。不同宽度下系统一阶至第十二阶频率 的变化详见图8所示：
顇率
m *
FREQ/Hz
图10不同宽度下电压相位图
从图10可以明显看出，宽度的改变对于相位的影响，基 本等同于宽度对于电压值的影响，都十分微弱，甚至不同宽 度下，各条曲线的趋势，近乎重叠。
3.3不同尖端质量下的系统各阶频率和谐响应分析
不同工作模式下的压电片有着不同的应用场景，在33 模式下工作的压电片，就需要合理的在尖端配置一定的质量 块，以减轻其固有频率。因此，不同的质量的质量块一定会 影响其固有频率的变化，同时，也会在谐响应中获得不同的
电压收益。
图8不同基板宽度下各阶频率变化
—181
—
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