2015年世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案 绝密★启用前
世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题
（2015年10月）
选手须知：
1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
九年级试题（Ａ卷）
（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）
一、填空题。（每题5分，共计50分）
1、两块三角形面板如图放置，等腰直角三角形板ABC的斜边BC与∠F=30°的直角三角板DEF的直角边EF重合，则∠a的度数为 。 2、若a、b都为实数，且b = 2013 + 2014+ 2015 则ab = 。
3.设x1，x2是方程x2 - x -2013 = 0 的两实数根，则x13+2014x22-2013= 。
4、已知三个实数x，y，z中，x与y的平均数是127，y与z的和的是78，x与z的和的是52，则这三个数x，y，z的平均数是 。 5、如图，矩形ABCD中，已知AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC与E，PF⊥BD与F，则PE+PF= 。
6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB = Rt,
CA⊥x轴，垂足为点A，点B在反比例函数y1= (x>0)的图像上，反比例
函电石生产工艺数y2= (x>0)的图像经过点C，交AB于点D，则点D的坐标 。
7、若有理数x，y，z满足（x+y+z）则(x-zy)2= 。
8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副"弦图"，后人称其为"赵爽弦图"如图，也是由牛津小学英语6a教案八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH,正方形MNKT的面积，分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3 = 10 ,则S2的值是 。
9、现有14颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有10个小朋友分到4颗或4颗以上，这些小朋友的人数最多有 人。
10、如图所示，已知拋物线y=,与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于点C，连接国家自然科学奖BC，过点A做AD//BC交拋物线于点D，连接BD，则∠BDA的度数 。
二、计算题。（每题6分，共计12分）
11、对于正数x，规定f(x)=
求:f(2015)+f(2014)+f(2013)……+f(2)+f(1)+f()+……f()+f()
12、已知
三、解答题。（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）
13、若a>0,b>0，且
14、求满足条件 =
15、设m为有理数，试求k的值，使方程x2 -4mx +6x +3m2 -2m +4k = 0 有理根。
16、如图，已知菱形ABCD中，∠BAD = 120°，M为BC上的一点，N为CD上的一点，求证，若△AMC有一个内角等于60如何创新社会管理°，则△AMN为侧脑室等边三角形。
17、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足abc = 2(a-1)(b-1)(c-1),是否存在边长均为整数的△ABC？若存在，求出三边长，若不存在，请说明理由。
18、已知∣y∣≤1，且2x+y = 1 ，求2x2 +16x +3y2 的最小值。
九年级A
一、填空题（每题5分，共计50分）
1、75° 2、1 3, =4056196 4、116 5、
6、, ） 7、25 8、 9、20 10、75°
二、计算题(每题6分，共计12分)
11、解: ∵f(2015) = =
f() = =
∴f(2015) +f()=1
同理f(2014) +f() = 1
……
f(2) +f() = 1 f(1)=
∴原式 =1×2014 += 2014
12、解: ∵= -2
∴= - 即 + = - ---- ①
同理 + = 5 --- ②
++ =- --- ③
由① + ② 得 ++= --- ④
由④ - ③ 得=
∴ + =
∴== -
三、解答题（第13题至15题，每题8分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）
13、解: 由 (+) = 3(+5)..................1分
化简得
a -2 -15b = 0; .............................1分
因式分解得
(-5)(+) = 0 ，......................1分
由于+≠ 0.................................1分
∴-5= 0....................................1分
∴a = 25b.......................................1分
原式 = = 2............................2分
14、解：由=－两边平方得
a = m+n－2.......................2分
∵a,m,n为自然数...............................1分
∴..................................1分
又∵=－>0.....................1分
∴m > n........................................1分
∴ 或...........................2分
15、解：原方程整理为：
x2 -2(2m-3)x+3m2 -2m+4k =0..........................1分
∴△=b2-4ac = 4(2m-3)2 - 4(3m2 -2m +4k).........2分
=4(m2 -6m +4 -4k)..............................1分
∵原方程的根为有理数..........................1分
∴△应为关于m麦博m800的完全平方式.....................1分
∴二次三项式 m2 -6m +4 -4k 的△必定为零
即36-4(4 -4k) = 0 ∴k = - ....................2分
16、①若∠MAN = 60° 可证△ABM≌△ACN ,得△ANM为等边三角形
....................................................4分
②若∠AMN = 60°,过m做AC平行线交AB于P，.........1分
可得△BPM为等边三角形 B P = BM.....................1分
又 BA =BC 得 PA = MC................................1分
可证∠PAM = ∠NMC ,可证△APM≌△2分
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