[教学目标] 了解数学教学的基本原则；熟悉中学数学教学方法，理解数学学习的原则与方法。 [学时] 4
[教学方法] 课堂讲解；课例讨论
[重点、难点] 数学教学原则与体系
[教学过程]
全国污染源普查条例§3.1 数学教学原则
教学原则是教学必须遵循的基本要求和基本原理，它主要阐明在选择教学手段和方法时，教师应当怎样依据教学规律进行教学活动。贯彻教学原则有利于提高教学效率，加速教学过程，提高教学质量，实现教育目标。
数学教学原则是伴随着数学教学法从一般教学论中分离出来的。
国内外数学教育界对数学教学原则非常关注，进行了广泛深入的探讨。在诸多的数学教学论著中，有的根据心理学，有的根据认识论，有的根据学校工作体系，有的着眼于知识，有的着眼于能力，有的着眼于教，有的着眼于学，提出了不尽相同的数学教学原则体系。
1．什么是教学原则
教学原则，是指根据教育教学目的和教学过程的客观规律制订的，教学经验的总结，指导教学工作的具有普遍适用意义的一般原理。
教学原则之间的关系及特点：
∙ 关系：彼此联系，形成一个体系，而不是各自孤立的，各条原则的贯彻是相辅相成的。
∙ 特点：各条原则从不同的侧面反映了我们的教育目的，教学工作的客观规律性。并非一成不变，随着教育科学的不断发展，教学原则将不断改进。
∙ 教学原则决定了教学方法，教学方法的建立，为的是保持以尽可能好的形式贯彻教学原则。
∙ 数学教育学不仅依靠教学论而且依靠教育论，因为数学教学不仅应当完成教养的职能，而且应当完成教育的职能。教学原则，既体现了教学论要求，又体现了教育论的要求。
本讲的目的是在一般教学论原则的指导下，具体讨论数学教学必须遵循的特殊要求，探讨中学数学教学的特殊的规律性。
2．基本教学论原则（即教育学中教学论确立的原则）
著名教育家、心理学家论述一般教学原则：
夸美纽斯根据感觉论的认识论和当时兴起的自然科学，在《大教学论》中提出了大大小小的教学原则37条。
第斯多惠（Diesterweg）根据学生、教师、教材和教学条件，在《德国教师教育指南》中提出了33条“教学规律”、“教学规则”等。
布鲁纳和斯金纳都是根据心理学提出了各自的教学原则：
∙ 斯金纳的积极反应、强化和小步子逐渐接近等原则，是从新行为主义心理学派的理论出发
的；
∙ 布鲁纳的结构原则，程序原则等是从认知心理学理论出发的。
以凯洛夫（Kайров）为代表的教学论和以赞科夫（Зaнков）为代表的教学论则主要分别着眼于知识的学习和心理的发展而提出各自的教学原则体系。
由原苏联引入我国的是柏拉基斯的数学教学原则体系，完全是凯洛夫体系的翻版，其后是奥加涅相等的体系。
——在每条原则前加上定语“数学教学中”的。
——包括斯托利亚尔的六原则，仍属一般教学论的原则体系。
我们认为，学科教学应有自身的特点，遵循某些特殊要求，并以数学教学原则的形式规定下来。在这方面，前苏联的数学教学原则体系几乎没有任何反映，是个严重的缺陷。
教育学中教学论确立的一般教学原则：
②理论联系实际
③教师的主导（性）作用与学生主动性相结合
④感知与理解
⑤循序渐进性与系统性
⑥掌握知识技能的巩固性原则
⑦符合学生年龄特点和接受能力的原则
⑧统一要求与因材施教
淡马锡模式这些原则是教学论对教学工作提出的统一要求，适用于任一门学科教学。
3．数学教学原则
基于两个原因：①数学内容的抽象性、严谨性和应用广泛性的特点；②中学生认识发展的基本特点及数学教学的基本目的，从而形成中学数学教学工作中所必须遵循的基本原则。 ● 十三院校编《中学数学教材教法总论》（四原则）
严谨与量力性相结合
抽象与个体性相结合
理论与实际性相结合
巩固与发展性相结合
● [苏]斯托利亚尔《数学教育学》中之六原则：
教学的科学性
掌握知识的自觉性
学生的积极性
教学的直观性
知识的巩固性
个别指导
● 《中学数学教材教法（上）》六原则：
1．严谨性与量力性结合的原则
2．抽象与具体相结合的原则
3．理论与实践相结合的原则
4．巩固与发展相结合的原则
5．数与形相结合的原则
6．传授知识与发展能力相结合的原则
● 曹才翰、蔡金法《数学教育学概论》提出由三个层次的原则组成：
第一层次称为目的性原则，包含思想性、科学性、教学与发展相结合三个个学原则，确定教学的方向；
传达信息第二层次称为准备性原则，包括自觉性和积极性，可接受性，提供丰富直观背景材料、整体性，以广度求深度、理论联系实际，巩固性、教师主导作用和学生主动性；
第三层次称为技术性原则，是数学教学特殊规律的反映，例如：具体与抽象相结合、严谨与量力相结合等等原则。并指出，这一层次的原则目前尚未建立完整的体系。
● [荷兰] 费赖登塔尔（Hans Freudenthal）的数学教育四原则
①大众数学（数学就是常识（experience）的系统化。数学学习中，不同的人可以达到不同的水平，但存在一个人人都能达到的水平。）
②重新发现教学（数学学习作为一种活动，让学生通过教师的帮助，寻到自己的道路。即通过重新发现来学习数学。）
③数学化（抽象化、公理化、形式化、模型化，数学教学的基本思想就是使学生学习数学化。）
④从现实中学习数学（数学产生于现实，存在于现实，而且应用于现实。）
4．本课程提出的数学教学原则 [教学重点]
● 属于技术性层面：
1．具体性（模型）与抽象性（形式）相结合（形式与模型）
2．归纳与演绎相结合（数学思维）
3．形与数相结合（数学观念）
4．数学建模与问题解决相结合（数学思想方法作为主线说——待研究）
● 属于准备性层面：
1．严谨性与量力性相结合
2．理论性与实践性相结合
3．巩固性与发展性相结合
以下重点讨论：所谓技术层面的数学教学原则
一、具体模型与抽象形式相结合的原则（形式与模型）
1、高度抽象性是数学学科有别于其他学科的一大特点。
①数学抽象性把客观对象的所有其他属性抛开不管，而只保留其空间形式和数量关系进行研究；
②数学之抽象性有丰富的层次，它的过程是逐级抽象，逐次提高；
③高度抽象性件随着高度的概括性，抽象程度越高，其概括性也越强。
2、数学的抽象性还表现为广泛且有系统地使用数学符号。
数学符号（感）使字词、词义、符号三位一体，这是其他学科无法比拟的。
例：“极限”——数例{an}的极限为A，用“”语言描述。
其词义就是：“使n>N时，总有”。
例：“垂直”——“⊥”，etc。
3、数学的抽象性必须以具体的素材为基础，任何抽象数学概念、命题，包括数学思想和方法都有具体生动的现实原型。
例：“对应”——以原始人的分配、狩猎或数数的具体活动为原型。
例：“数式运算” ← “函数”←“映射”←“以复数为自变量的函数”←“泛函”。
抽象是相对的，以相对的具体作为基础。数学的抽象性不仅以具体性为基础，而且还以广泛的具体性为归宿。
4、数学教学中，贯彻具体与抽象相结合的原则，应从学生的感知出发，以客观事实为基础，从具体到抽象，逐步形成抽象的数学概念，上升为理论，进行判断和推理，再由抽象到具体，应用理论去指导实践。
如何处理好具体与抽象的关系呢？把握以下三点：
①数学概念的阐述，注意从实例引入。
通过具体的实物进行直观演示，也可利用图像直观，语言直观形成直观形象。例如：线、
面、体等概念。
②对于一般性的数学规律（如法则、公式等），注意从特例引入。
例如“勾股定理”的讲解：
可先从三角形的边分别为3、4、5或5、12、13等出发→阐明三边关系→证明一般规律：a2+b2=c2
例如“同底数幂相乘”法则：
先从：23×24=27，a3×a4=a7，am×an=am+n，
其中m、n分别为正整数、o、负整数、有理数、无理数→实数。
直观是从具体上升到抽象的辅助工具，特殊化是认识抽象结论的辅助手段，即使高一级的抽象也往往依赖于较低一级的具体。
③注意运用有关的理论，解释具体的现象，解决具体的问题。
直观具体仅是手段，培养抽象思维的能力才是根本目的。如果不注意培养学生的抽象思维能力，那么就不可能学好数学；相反，若不依赖于具体、直观，则抽象思维能力也难以培养。但如果只停留在感性阶段，那么必然会影响思维能力的进一步发展。只有不断做好具体与抽象相结合，才能使数学学习不断向纵深发展，使认识不断提高和深化。
二、归纳与演绎相结合的原则 （数学思维）
1、人们认识活动的一般过程总是由特殊到一般或由一般到特殊，归纳和演绎就是这一认识活动的两种思维方法。
数学概念的讲解，定理的证明，解题的思路都离不开它们。所以，归纳与演绎相结合是数学教学的又一基本原则。
2、归纳是由特殊到一般或由个别到全体的思维方法
①归纳是揭示数学规律的重要手段。
例如：人们经过多次观察、比较，得出“不重合的两点可以确定一条直线”，“不在同一直线上的三点可以确定一个平面”；
通过对各种三角形内角的度量，便得出“任何三角形的内角和等于180o”。
②归纳是培养抽象概括能力的重要途径。
在数学教学中，用归纳法引入数学概念、原理，有利于培养学生从个别问题中抽象概括一般结论的能力。
例如：
平面上一条直线，把平面分成2个区域，记作f(1)=2；
两条相交直线，把平面分成4个区域，记作f(2)=f(1)+2=2+2=4；
不共点的三条直线，两两相交，把平面分成7个区域，记作f(3)=2+2+3；--
最后可抽象概括为：
平面上，不共点的n干2019快速 localhost条直线，两两相交，把平面分成
f(n) = 2+2+3+……+n =个区域。
③归纳启发人们用特殊方法解决一般问题。
事实上，研究特殊情况要比研究一般情况容易，而特殊情况的结论往往又是解决一般问题的桥梁。
例如：证明是完全平方数。
先考虑几种特殊情形：
当n=1时，11―2=9=32
宫调音乐当n=2时，1111―22=1089=332
于是猜想：
基因敲除小鼠为证明这个结论，进一步考察特殊情况：
考察数列：1，11，111，…与数列：2，22，222…的关系，不难得到它的通项。
经过1与2，11与22，……的比较，可知：。
这样问题的证明就显而易见了：
由此可见，不搞特殊的枚举归纳（不完全归纳），就难以下手证明。
演绎与归纳的思路正相反，它是由一般推到特殊，这在数学教学中也是常用的思维方法。
3、归纳与演绎的关系。
G．波利亚指出：用殴几里得的文体表述的数学，是系统的科学，但是数学在它的形成过
程中，是实验的归纳科学。数学的这种观点如同数学科学本身一样，都是由来已久的。
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