再现辉煌
很多学生在学习数学分析中对关于极限的ε-σ语言都不理解，从而对其望而生畏.而在学习过程中，柯西的名字频频出现.在极限论中有柯西收敛准则，在微分学中有柯西中值定理，在正项级数的敛散性中有所谓柯西检验法等等.这些结论在数学中的意义和地位如何呢？从逻辑角度来看，这些结论都与极限的数学定义密切相关.下面我们从科学历史发展的角度，简述为什么会产生ε-σ语言，也就不难理解柯西在数学分析乃至科学文化中的贡献. 希腊文明认为，在观察实验的基础上人类可凭借理性的力量发现宇宙的规律.毕达哥拉斯提出“万物皆数”的观点，又提出毕达哥拉斯定理，导致了第一次数学危机.而在约公元前5世纪，芝诺悖论又使希腊人的思想陷入了危机.到今天我们知道这里的危机涉及“无穷小”和“实数连续性”等问题.这个弯子实在是太大了，不仅是希腊人，就连伽利略、牛顿等人都没有想明白[1]（P3）.在17世纪牛顿、莱布尼兹克服希腊数学严格演绎论证方法的束缚，通过想象和直观推断的思维方式，建立了一套行之有效的微积分计算方法.应该说这时的微积分还只是建立在力学和几何直观基础上，原理和概念模糊，更缺乏逻辑证明，所以遭受了许多非议.然而由于 什么是按劳分配>自摆乌龙双盲微积分方法在实际应用中屡试不爽，使人们确信这一方法的正确性，于是人们便肆无忌惮地使用微积分方法来处理各种问题，如在广义积分和级数理论中形式地应用运算规则，结果得到一些矛盾结果.这样数学家一方面被微积分强有力的应用所吸引，另一方面也为胡乱地采用直观和形式推演而感到困惑.最终导致人们对数学分析缺乏逻辑基础的状况不满，认识到必须为这一领域建立严格的理论基础.
首先提出改变分析基础的是达朗贝尔，他于1754年提出：需要有极限理论[2]（P536）.但在1821年以前，此理论尚未完善.在此期间，拉格朗日1797年发表的巨著《解析函数论》对后来的数学研究产生深刻的影响.
严格的分析是从波尔查诺、柯西、阿贝尔和狄利克雷的工作开始，由维尔斯特拉斯进一步发展.在这方面当属柯西和维尔斯特拉斯的工作最为重要.柯西撰写了大约800部专著和论文，几乎涉及了数学的所有分支.在微积分方面最为著名的三篇论文：《工科数学分析讲义》（1821年）、《无穷小计算概要》（1823年）和《微分学讲义》（1829年）.柯西1821年的研究是从变量的定义开始的.“把依次取许多互不相同的值的量叫做变量”.然后他又给出了极限与连续的定义.“如果赋予同一变量的连续不断的一系列数值使其无限趋向于一 山核桃采摘机个固定的值，使得最终它们与固定值的差按人们所希望的那样小，则后者称为所有其他数值的极限”[3]（P551）.柯西以圆面积作为例子来说明所给出极限定义的合理性.“称函数f（x）是在变量x的两个给定值之间的这个变量的连续函数是指对x在这些界限之间的每个值，差f（x+α）-f（x）的（绝对）值随着α无限地变小[3]（P553）”.柯西又用极限概念将无穷小定义为极限是零的一个变量，他在定义中不提怎样达到极限，仅仅是保持接近，所以这里没有消逝的量，于是贝克莱所谓消逝量的鬼魂也就无从谈起了，从而澄清了无穷小的神秘性，即将无穷小从形而上学的束缚中解放出来.进而又用极限定义了函数的导数、连续性、微分、积分、级数的收敛与发散等概念.通过柯西的定义形成了与现在的定义形式相差无几的数学分析概念，同时使得这些基本概念摆脱了物理学科，将分析学形成了一个以极限为基础的严格的理论体系.柯西的成功在于他成功地处理了变量与常量、无限与有限的关系，从这些关系中抽象出它们既对立又统一的共性，得到了一个能反映数学分析本质的概念——极限，由此使得数学分析理论取得了重大突破.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上存在的混乱，他的理论只能说是“比较严格”，即柯西的理论实际上也存在着漏洞[4]（P250）.例如，在上述的定义中用了“无限趋近”、“想要所希望的那样小”等直观描述的语言.在19世纪中叶以前，对于什么是实数并没有
后启示录电影明确的定义.当时的数学家对实数系本身仍以直观的方式来理解，所以在柯西的工作中也出现了错误，如柯西断言：“如果一个多变量函数分别对每个变量是连续的，则它对于所有变量都连续”[5]（P7），现在知道这是不正确的.柯西也曾指出：“如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然，那会是一个严重的错误.”[5]（P1）
柯西只是定性地描述了极限概念，所以还不是真正的严格，其理论体系尚有不足之处.维尔斯特拉斯攻击“一个变量趋于一个极限”的说法.为了克服柯西极限定义中“无限趋近”和“想要所希望的那样小”等不明确性，维尔斯特拉斯给出了极限的ε-σ定义，其极限定义只涉及实数系问题.由此维尔斯特拉斯提出分析算术化的设想.后经戴德金等努力，发展成当今的数学分析理论.在此发展过程中，柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步，所以今天将柯西誉为数学严格化现代纪元的奠基人.我们在学习柯西理论体系的同时，更要学习他对待科学的严谨态度与敏捷的思维方式.
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