线性代数的历史
译自Israel Kleiner《A History of Abstract Algebra》
盐城市第一小学教育集团线性代数是一个非常有用的学科，它的基本概念产生并被应用在数学和它的应用的各个不同领域，因此这门学科植根于诸如数论（初等数论和代数数论）、几何学、抽象代数（，环，域和伽罗瓦(Galois)理论）、分析学（微分方程，积分方程和泛函分析）和物理学这些如此丰富多彩的领域就毫不奇怪了。线性代数的基本概念是线性方程组、矩阵、行列式、线性变换、线性无关、维数、双线性型、二次型和向量空间。由于这些概念之间是密切关联的，所以有些概念通常会出现在同一段内容中（例如线性方程组和矩阵），从而使得我们往往不能将它们分离开来。 到1880年为止，已经得到许多线性代数的基本结果，但它们还不属于某个一般性的理论。特别要指出的是，那时还尚未提出向量空间这个构建这种理论的基本观念。这个观念仅在1888年由皮亚诺(Peano)提出过。即使如此，它那时也被大大地忽视了（如同格拉斯曼（Grassmann）更早前的开创性工作），直到20世纪早期作为一个完整理论的基本要素这个观念才再次起飞。因此线性代数这个学科的历史发展顺序与它的逻辑顺序正好相反。
我们将按照下面的顺序来描述线性代数的基本演变史：线性方程组；行列式；矩阵和线性变换；线性无关，基和维数；向量空间。在这个过程中，我们将评述上面提到的某些其他概念。
5.1线性方程组
大约4000年前，巴比伦人就知道如何解两个二元一次线性方程组成的线性方程组（2*2的线性方程组）。在著名的《九章算术》（大约公元前200年，水务工程论文Nine Chapters of the Mathematical Art）中，中国人解出了3*3的线性方程组，解法中只使用了线性方程组的（数值）系数。这些做法是矩阵方法的原型，但和高斯（Gauss）以及其他人2000高效课堂小组建设年后提出的“消元法”并不相同。见[20]。
对线性方程组的现代研究可以说肇始自莱布尼兹（Leibniz），为了研究线性方程组他于1693年提出了行列式的观念。但是当时他的研究不为人知。克莱姆（Cramer）在他1750年出版的《代数曲线分析入门》（Introduction to the Analysis of Algebraic Curves）中，发表了一个后来以他的名字命名的解n*n线性方程组的法则，但是他没有给出证明。在试图解决一个几何问题，即确定一条通过（1/2北京的彩）n2 +（3/2）n个定点的 次代数曲线时，他发现 需要研究线性方程组。见数字化展示[1]，[20]。
欧拉（Euler）也许最早注意到含有n个n元一次线性方程的线性方程组不一定有唯一解，他还指出要获得唯一解必须添加条件。尽管他并没有给出具体条件，但他的脑中有一个方程独立于其余的方程的思想。到了十八世纪，线性方程组的研究通常被归类在行列式之下，所以并没有研究方程的数目与未知数的数目不相等的线性方程组。见[8],[9]。
与他提出的最小二乘法（发表于1811年的一篇涉及小行星的轨道测定的论文中）相联系的是，为了求解线性方程组，高斯提出了一种现在叫做高斯消元法的系统性的程序，尽管他没有使用矩阵符号。他处理了线性方程组的方程数目与未知数数目不相等的 情形[20]。线性方程组的理论问题，包括线性方程组的相容性问题，在十九世纪后半叶被探讨，而且它们至少是被将二次型和双线性型化简成“简单”（规范）型这样的问题部分推动的。见[16]，[18]。
5.2 行列式
虽然我们现在谈论一个矩阵的行列式，但是这两个概念却有着不同的起源。特别要指出的
是，行列式出现在矩阵之前，并且在它们的历史早期都与线性方程组有着密切的联系。随后出现的问题导致了行列式的新用途，它们包括消去理论（寻两个多项式有公共根的条件）、旨在化简代数式（例如二次型）的坐标变换、重积分中的变量替换、微分方程组的求解以及天体力学。见[24]。
正如我们在关于线性方程组的前一节已指出的那样，莱布尼兹发明了行列式，他“在本质上知晓它们的现代组合定义”[21]，并且将它们应用于解线性方程组和消元理论中。他撰写了很多有关行列式的论文，但是这些论文直到最近才得以公开。见[21],[22].
第一份包含行列式基本知识的出版物是麦克劳林（Maclaurin）的《论代数》（Treatise of Algebra），其中行列式被用来求解2*2和3*3的方程组。紧随其后的就是克莱姆对行列式意义重大的应用（参看前一节）。见[1]，[20]，[21]。
在1772年的《消去理论论文集》（Memoir on elimination theory）中，范德蒙德（Vandermonde）首次脱离行列式与线性方程组的可解性之间的联系，阐述了行列式理论。（高斯在1801年首次使用“行列式”瑞安市博业激光应用技术有限公司这个词表示一个二次型的判别式，即二次型ax2 +bxy+cy2的判别式为b2 - 4ac）拉普拉斯（Laplace）在《关于积分学和世界系统的研究(1
772)》（Researches on the Integral Calculus and the System of the World (1772)）中扩充了范德蒙德的部分工作，说明了如何利用余子式展开n*n的行列式。见[24]。
柯西（Cauchy）在1815年的一篇题为“On functions which can assume but two equal values of opposite sign by means of transformations carried out on their variables”的论文中，第一次系统地研究了行列式。正如我们今日所知，他被认为是行列式理论的创始人。线性代数的入门级教科书中的许多有关行列式的结论都应归功于他。例如：他证明了重要的乘法法则det(AB)=det(A)det(B)。他的工作为数学家们处理n维代数、几何和分析问题提供了一个强大的代数工具。例如，1843年凯莱（Cayley）以行列式为基本工具发展了n维解析几何，而在1870年代，戴德金（Dedekind）利用行列式知识证明了“代数整数的和与积仍然是代数整数” 这个重要结论。见[18],[21],[22],[24]
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