高阶非线性系统自适应模糊有限时间状态约束控制

DOI：1O.13878/jki.jnuist.2O21.O1.O11

范彦丽1李永明1佟绍成1

摘要

针对一类具有状态约束的非严格反馈高阶非线性系统，研究一种自适应模糊有限时间跟踪控制问题.首先，利用模糊逻辑系统逼近不确定性非线性函数，在此基础上，采用障碍Lyapunov函数，解决状态约束问题，通过障碍加幂积分方法和反步递推技术，提出了一种有限时间控制设计方法.在有限时间Lyapunov 稳定意义下，严格证明闭环系统半全局实际有限时间稳定且系统的状态不超出给定的约束边界，并实现了有限时间跟踪控制目标.最后，仿真研究进一步验证了所提出控制方法的有效性.

关键词

有限时间稳定；模糊控制；加幂积分；障碍Lyapunov函数；高阶非线性系统

中图分类号TP13

文献标志码A

收稿日期2020-08-28

资助项目国家自然科学基金(61822307,6177 3188)

作者简介

范彦丽，女，硕士生，研究方向为智能控制、有限时间控制.fanyanli0716@163 李永明(通信作者)，男，博士，教授，研究方向为非线性系统的自适应控制、模糊控制和神经网络控制.Ly-m/OOd®163

1辽宁工业大学电气工程学院，锦州，1210010引言

在过去十几年中，学者们对高阶非线性系统控制问题的关注度逐年提高，并取得了一些有价值的理论成果［1-4］.相对于文献［5-6］中严格反馈非线性系统，高阶非线性系统在线性化过程中存在不可控情况，同时虚拟和实际控制输入中存在指数幂次p；，这增加了控制器的设计难度，因此传统的反步递推方法不再适用•为了解决高阶非线性系统的控制问题,Lin等［1］在反步递推方法的基础上首次提出了加幂积分控制技术•随后，许多学者利用加幂积分方法对高阶非线性系统进行了广泛研究•文献［2-3］针对单输入单输出高阶非线性系统，研究了状态反馈和输出反馈控制设计问题，在Lyapunov稳定意义下，保证了被控系统渐近稳定.

值得注意的是，渐近稳定不能给被控系统提供更高精度的控制方案•在飞行器姿态、感应电机等实际控制中，一般希望控制系统能在有限时间内满足期望的控制性能•此外，有限时间控制具有许多潜在的好处，如较强的收敛速度和较强的鲁棒性等•因此，近几年有限时间控制问题的研究取得了很大的进展•文献［7-8］通过加幂积分技术和齐次占优技术，研究了高阶非线性系统的全局有限时间控制问题；文献［9］针对一类具有参数不确定性的非线性系统在给定的瞬态指标基础上，提出了一种自适应有限时间控制方法；文献［10］基于扰动观测器讨论了一类不确定非线性系统的终端滑模控制；文献［11-12］分别针对严格反馈和非严格反馈非线性系统，基于自适应模糊和神经网络控制方法，在有限时间Lyapunov稳定理论的框架下，保证了被控系统实际有限时间稳定•虽然上述工作［7-1；］对非线性系统的有限时间控制设计问题进行了相应的研究，但仍存在一些问题值得进一步研究.

除了稳定性问题，当考虑到性能规格以及安全等因素，非线性系统会受到状态或输出的约束，在系统运行期间，如果状态或输出违反约束条件，可能会使系统性能下降或损坏•文献［13］结合时变非对称障碍Lyapunov函数，对一类具有全状态约束的严格反馈非线性系统，提出了一种自适应跟踪控制方案；文献［14］对一类非三角结构系统，在考虑执行器故障和误差约束的条件下，提出了一种自适应模糊控制方案.通过结合tan型障碍Lyapunov函数，文献［15-16］针对具有部分状态约束和全状态约束的高阶非线性系统,

分别构造了两种不同

范彦丽，等.高阶非线性系统自适应模糊有限时间状态约束控制.

FAN Yanli,eL al.AdapLive fuzzy finiLe-Lime conLrol for high-order nonlinear sysLem wiLh sLaLe consLrainLs. 80

的控制器.但是上述工作[[3-[6]均未考虑有限时间控制.在实际工程中，如机器人机械手、电机系统等，不仅存在状态约束现象，而且需要考虑系统的收敛时间问题.近些年来，许多学者致力于非线性系统的状态约束和有限时间控制问题的研究，并取得了许多具有标志性的成果[i7-20].文献[17-18]分别针对具

有死区非线性和切换行为的非线性系统，研究了有限时间全状态约束控制设计问题；文献[20]将文献[17-18]所提出的控制设计算法应用到了实际直流电机系统.在文献[17-20]所考虑的非线性系统中，虚拟控制和实际控制的幂次均为1.

受到以上研究成果的启发，本文针对一类非严格反馈高阶非线性系统，提出一种自适应模糊有限时间跟踪控制方法.结合反步递推法、加幂积分技术和障碍Lyapunov函数，设计了一种自适应有限时间控制器.所设计的控制器能够同时确保输出有限时间内跟踪给定的参考信号，且闭环系统的状态不超出给定的约束边界.与现有的文献相比，本文的贡献概括为以下三方面：

1)结合模糊逻辑系统辨识未知非线性函数，放宽了文献[1-4,7-8]中系统非线性函数项需要已知

或满足类似于不等式丨g,(%)I W A,(%,)(I%,+ I%2lT+…+I%,IT)的线性增长条件，其中，A,(%,)是一个已知的光滑函数-在本文中，非线性函数g,(%)是完全未知的，不需要满足上述假设.

2)相较于文献[17-20]系统幂次为1的约束问题，本文解决了控制输入幂次是正奇数比的非线性系统的状态约束控制问题.

3)本文所设计的有限时间控制器不仅可以保证系统状态不超出给定约束边界，而且能确保闭环系统的所有信号在有限时间内收敛到包含原点的一个小邻域内.而文献[15-16]在系统满足状态约束条件下，没有考虑闭环系统收敛时间.

1模型描述和预备知识

1.1模型描述

考虑如下一类非线性系统：

%[=h,(x)%2+g,(x),

%2=h2(x)%?+g2(x),

-;(1)

%”=h”(x)0+g”(x),

y=%i.其中:x=[%,,%2,…,%…]T e R”是系统的状态向量；u e R和y e R分别是系统的控制输入和输出；h,(x)和g,(x)是光滑未知非线性函数；指数p,(,'= 1,2,…，”)是两个正奇数的比值-x(0)=[0,…,0]T 是系统的平衡点-对于任意给定的正常数k…，系统所有的状态收敛到给定的紧集内，即2,=[%,e R I%,I<k c,(,=1,2,…，”))-

假设1[l5]存在常数h,>0和代〉0,,=1,2,…，”，非线性函数h,(%)满足如下不等式：

0<h,W h,(x)W h,-(2)

1.2预备知识

引理1[6，[4]在紧集n上定义连续函数h(x)，对于任意给定正常数n>0，存在模糊逻辑系统0*T0(x)，满足:

sup I h(x)-0*T0(x)I W n,(3)其中,0(x)=[<P[(x),…,°N(x)]T是模糊基函数, n是最小模糊逼近误差，&*=[0,*,-,0*]T是真值权重向量，且N是模糊规则数-

引理2[[7-[9]考虑如下非线性系统：

x=g(x),g(0)=0,x e R”(4)存在连续可微正定函数V(x)和常数c>0,p>0, a e(0,1)，满足卩(x)W-c V"(x)+p，则系统(4)是半全局实际有限时间稳定，即：对于所有x(t0)= %0，存在一个常数e>0和驻留时间T(e,%0)<8，使得对于所有t M t0+T有||x I<e-

控制目标：对于系统(1)，设计有限时间自适应模糊控制器，使得：

1)闭环系统的所有信号在有限时间内收敛到包含原点的一个小邻域内;

2)系统输出在有限时间内跟踪给定信号y r(I y r I W y0小是已知正常数)；

3)系统所有状态收敛到一个给定的约束边界内.

2模糊有限时间控制器设计和稳定性分析在本节中，基于自适应反步递推方法和加幂积分技术，设计模糊自适应有限时间控制器，同时依据引理2，结合所设计的控制器证明系统(1)是半全局实际有限时间稳定的.

2.1模糊有限时间控制器设计

定义坐标转换：

希玄侯鬼z 伉專学报(自然科学版),2021,13(1) ：79-86

Journal of Nanjing University of Information Science and Technology (Natural Science Edition) ,2021,13( 1) ：79-86佛冈县第四小学

戸 | = %| _ y r ,

B ； = %;； _ (%；*)r ；,； = 2,…,",

其中,0；是虚拟误差,%；*是虚拟控制器，实际控制器

u 将会在最后一步设计给出.定义1 +p ；/r ；+1 = 1 /r ；: T ，设计参数 r ；,| = 1,r ； > 1 ( ；= 2,…则 (0,1).

步骤1.根据式(1)和(5) ,01的导数为

01 = h 1(x )%；1 +创(x ) - y

定义如下障碍Lyapunov 函数：

*；| 1 一；

F | = ；log *；| _01 :；n |0|，

其中，n |是正设计参数，仇是0* - II 0*计,0| =0； -01是参数估计误差.在紧集-i 01

I 01 I < *6| 1中，F |是连续的.根据式(6)和(7),

可得：

01 01

(5)T e

(6)

(7)

ii 1+t 的估

**z 101

1 ~ •:010|

n 1

1 一 •,；0；(h 1(x )%2| +g |(x ) _yj +—0| 0|.*；1 _0 ； n 1

因为g |(X )是未知光滑非线性函数，根据引理

1，可以使用模糊逻辑系统g( Z | I 01)—

硏 0( Z |) (Z | =[ X ,y r ,y 」T )逼近未知函数 g |( Z |)=

g |(X ) _y r

*；| -01，并假设：

g | = ®*T 0|(Z |) : 6(Z |) ,

(9)

其中，I £(Z |) I W e ；，且e ；是正常数.将式(9)代入

式(8)中，可得：

(8)xujie

卩1=J_01 h 1( X ) %21+01(卯 °1(

1 ~ •

£|(可))+

&| &|. (10)

n 1

根据Young 不等式[14]：

m" 1

乂

八〃 W ||d||“ + A a MF ，

邢源高(11)

其中，a ,b e R ” ,m > 0,/z > 1 ,A > 1，并且(/z - 1)( A -

1) — 1.由式(11)，可得：

010；T 0|(Z |) +01£|(Z |) W

0|卄 u |+T II 0| II 1+T 0； + U -(|卄)"+0| +T b | +T + 冇(| +T )/T £；(| +T )/T ,

(12)

其中，u | > 0q | > 0是设计参数.将式(12)代入式

( 10) , 可得：

卩1 W 兀一h |(x )(%；)" +

*61 _01

*T 0_0![(0T u |IS || 1 +T 0| +

021+T )(*；| _01)]-1

0|(n 101+T u |+T IS ||1+T -01) +n 1

百寫仏(x )(%；1- (%；)") +5, (13)

*61 _01

其中 5 =u _(|E" +b _(1 +T)/T £；(1 +T)/T .

设计虚拟控制函数%；和参数01的自适应律为

%； =-“ 101

(14)01 =n |u | +T 0T IS II 1+T -y 101,

(15)

其中，“| = [((” + u 1+T y 0| ii 1+T 01: g +t )(*；| _

0 ；))仏]1如，Y | > 0是设计参数.

根据式(13),(14)和(15)，卩|可改写为

卩|01+T 01

W -"*；|—01 +*2；_02h |(X )(%；1-(%”):

---01 0| + ©.

n 1

式(16)的第二项结合不等式I °「I 6 r W

” -m

-------------Y I ° I m +” +-------------Y ” I 6 I m +”(m ,"和 y ( m + ”)-------------------( m + ”)

是正常数)[|7]，可得：

(16)

m+”

,；。訥|( X ) ( %；1 _ ( %2*) P ，) *61 _01

h |( X ) */■-0 ； (

(%；2): - ((%；*；) r ；) W 01+T

*；| _0；

其中 , e 2 > 0 是一个设计参数.

根据式(17)，式(16)可重写为

0|+T

F | W - (" -

+e ；0；+T +-10|0| +5. (18)

*；1 _0 ； n 1

步骤；'(2 W ； W " - 1).在这一步中，引入障碍加

幂积分技术.定义如下标量函数

K =「； z ；(仞)2-"”； I

；

=L ；* *2； -z ；(/"，

其中,Z ；(陆)=加；-(%；*)r ；.

选取如下 Lyapunov 函数：

y ； = y ；-1 +k ； + —

；

n ；

+ e 步 1+T

(17)

北极光俄语(19)

(20)

范彦丽，等.高阶非线性系统自适应模糊有限时间状态约束控制.

FAN Yanli ,eL al.AdapLive fuzzy finiLe-Lime conLrol for high-order nonlinear sysLem wiLh sLaLe consLrainLs.

其中，玄是0,* = I 0,* I 1+T 的估计，& =仇* -0，是参

数估计误差-在紧集环=j 0, I 0, I < k b,）中，v ，是v,

关于时间t 的连续正定函数-式（18）对时间t 求导,

可得：

卩,=v , , + ——%, + ——%, , + ——0,,

d %, O%,-, d0,—,

01-1",

,-[

g , = e ,0： + k 2 ,

g ,

(x ) + X b

d(%,*)r,d( %,*)r,

3%A

d0，玄

)

1 ~

•

+ 0, 0,- n ,

(21)

k 2, -02(w)

(27)

根据式(19)，可得：

dK , (%r, - (%,* )r, )2 — 1 /r,

-----------=------------------;------------;--------------%,=

d %,%,

k b, -0,

02 T "

k 0(h ,( x ) %f; I +g ,( %)),k b, - 0 ,

dK ,

1 d(%,*)r, p, z ,(w)[—1 /r,,2,

---------------------= X |

—2 2 dw- d %,— [%,—[--------厂，d %,— [%,—[------儿* k b, - Z , ( w)根据式(23 )和不等式I a n - b n I W 21

b I n [l8]( a,b e R 且 0 < n < 1)，可得：

1 d(%,*)r, I *

-------------XI %, -%, r ，兀-I %-,

(22)

(23)

迟

兀—,%-i

(%卜)[/r, - ((%；)r ,)1/r ,x

k b -02(w)

d( %*) ”, 如-,%,-[

X [(%r , - (%,*)"广""]

[k 2, -02(w )]

W b ,

其中，b , M （1 /r ,） X 2[ — f

同理可得：

k b -02(w )九-i %-,

(24)

- (25)

dK ,

W b ,

d( %,*)r,30,-1 0,—I

k 2, -02(w)

30,-1 0,—I

由于g ,(x )是未知光滑非线性函数，根据引理

1，利用模糊逻辑系统g,(z , I 0,) = 0T 0(z ,) ,z , = [x , 0,]T 逼近未知函数g,(z ,)，并假设：

g = 0,*T 0,(Z ,) + e ,(z ,) , (28)

其中，I e (z ,) I W e :，且e ：是正常数-将式(28)代

入式(26) 中, 可得：

,-[

0[ +T

卩，W X - (”-, + D 」2 +

尸1 k b 0

X I 綁+a 」+kS h ,( x )( %*，) ”

0,( 0,*T 0,( z ,) +e ,( z ,)) +

1 .

高分子材料的应用02—1 r,

^0, 0, + ^^h ,(x )(%住[-(%,*[)")-n , k bi - 02

根据Young 不等式，可得：

0,0,*T 0,( z ,) +0,e ,( z ,) W

0,'+T u i +T I 0, I 1+T 0,* +U -+ 01+T b ,[ +T + bj 1 卄)"e i *<l +T)",

,u , > 0,b , > 0是设计参数-

将式(30) 代入式(29) , 可得：

,-[

01+T V , W X -(”…[)k 「-0 ； +

神意太极拳02—1 A,

+ h ,( x )( %,* [)" +

k b, - 0 ,

其中+

(29)

(30)

将式(22)—(25)代入式(21)，可得:

,-[

0[ +T

卩,W X - (”-, + 2) / 2 +

严1 b

fF + a ] + 理：+X I n"，丿 k 2, -02

I p I 1+T 0, +

I +T

50,

仁 2 h ,( x )( %,*,) “

,-1

X b

J=I

k 2, -02(“)

(

d(%* )r,

d %.. %■

02 T "

—

g ,

( x ) +

d(%,*广

d0. 0.

02,+T )(k 2, -02)]-

•

7( n ,01+T u JT p 11+T -0,) +n ,

0；-"，,

h ,( x )( %f ； [ - ( %,* [) “) +a ,, (31)

k b, -0,

其中 a , nur 1 +T)/T +b _<l +T)/T e J 1 +T)/T -

设计虚拟控制函数％*[和参数0，的自适应律为

%* [ =-^,01/r ,+[,

(32)二2h ,(x )(%住[-(%*i )〃) 令，

1 ~ •

+ 0,0,- n ,

(26)

0, = n ,u 广 01+T I 0, I 1+T -7,0,,

(33)

其中，M, = [(((” - , + [) + u , +T I 0, II 1+T 0, +

b 1 +T )(k ： -02 ))/h ,][也，y , > 0 是设计参数

希玄侯鬼z 伉專学报(自然科学版),2021,13(1) ：79-86

Journal of Nanjing University of Information Science and Technology (Natural Science Edition) ,2021,13( 1) ：79-86

根据式(31),(32)和(33),y ；可改写为

h ；( x )(% 住 | - (%；； |)哄).

(34)

*6； - 0 ；

步骤 ”.选取如下 Lyapunov 函数：

匕=匕_1 +K ”+ 1 吃,

(35)

；n ”

其中，02 是 0； - || 0； I 1+T 的估计,0” - 0； - 02 是

.% Z ( W )； - 1 心

参数估计误差.K ” - f ：；”、: 血，并且Z ”(»)-X ；

*6” _ z ”( “)

2.2稳定性分析

下面的定理给出了所设计的有限时间控制器所具有的性质.

定理1针对非线性系统(1)，在假设1的条件

下，控制器(37)，虚拟控制函数(14)、(32)和参数自适应律(15)、(33)和(38)，能保证:

1) 闭环系统的所有信号半全局实际有限时间稳

定，且输出信号y 在有限时间内跟踪给定信号y ”;

2) 系统状态%；( t)不超出给定的约束边界*“.

证明选取如下Lyapunov 函数：

是正定且连续的.式(35)对时间t 求导，可得：

d*” d*” d*” • 1 ~

•

卩—卩 | +—% +-------% | +-------0 | + —0 0 W

” ”－1 ” ”－1 ”－1 ” ”d %” d %”-1 30”" n ”

(42)

0"b "+T )(*；" -0")]-1

-0"(讣"+T u "+T I 0" I 1 +T -0") +«".(36)

n ”

设计控制器U 和参数0"的自适应律为

u = _心 ”""+1,

(37)•

”

= n ”u T 0"+T y 0" y 1+T _ Y "0",

(38)

注意到，对于任意给定正常数*6| ,0 |满足

I 0 | I <*6|，以下不等式成立：

*；|

og *2| -02 <*2| -0；.

根据式(42) 和式(43) , 可得：

1 01 v /

；、[ %r ； - (%；) qi ”；

2 *2| -02 $y 1 0； W 1 0 ；:$ ；n ；； W ； *；| -0；

((%；)”;)1 "；) x [%：； - (%；)”;]2-1 "；/[*；；-0；] +

(43)

*2； _0；

$(( %

；；

)1 ”;

；=2

其中，“” =[((1 + U ”+T I 0” |||+T 0” + b 1+T )(*；2 -

02) )/h ”]"" ,Y ” > 0 是设计参数.

根据式(31),(32)和(33)，可得F ”的导数为

"W _ £ 羸:£ I .⑶)

根据Young 不等式和0; =0； - 0.，下列不等式

成立：

”

” 0 2 ”

$ 9L 0

；

W2$ 几+ $右0；.

(44)

；=1 ；

n ；

；= 1 *6； _ 0; ；= 1 ；n ；

对于t e (0,1) 一定存在一个常数I — (1 +

t )/2，使得I e (0,1).结合式(44)，进一步可得到：

y l w ]；$

0；

*；； _0；

$ 2；。；

；1

$ (*

；；

-02) l + $〔2n ；

；

$ *；

0-0；

+ $ Ln 020

根据式(41)和(45)，可得：

(45)

綁 W _ 針2+ 釘 0；)-

(40)

由式(40), y ”可改写为

$ (-鈔;+杠⑺；+"

类似于式(40)，以下不等式成立：

$ (_鈔+和⑺；+小⑷)

(46)

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