【方法点拨】可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．
【例1】（春金坛区期中）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列4个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（ ） B．指针落在标有10的区域内
C．指针落在标有偶数或奇数的区域内
D．指针落在标有奇数的区域内
【变式1-1】（春市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（ ）
A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大
B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多
C．她不可能吃到豆沙馅汤圆
D．她一定能吃到枣泥馅汤圆
【变式1-2】（资阳）在一个布袋中装有红、白两种颜的小球，它们除颜外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ） A．4个 B．5个
C．不足4个 D．6个或6个以上
【变式1-3】（张店区一模）从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
线路/公交车用时的频数/公交车用时 | 30≤t≤35 | 35≤t≤40 | 40≤t≤45 | 45≤t≤50 | 合计 |
甲 | 59 | 151 | 166 | 124 | 500 |
乙 | 50 | 50 | 122 | 278 | 500 |
丙 | 45 | 265 | 167 | 23 | 500 |
| | | | anycasting | |
早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大．（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【考点2 确定与不确定事件】
【方法点拨】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【例2】（秋十堰期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C．任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是确定事件
D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
【变式2-1】（春常熟市期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．如果a，b都是实数，那么，a+b＝b+a
B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上
D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形
【变式2-2】（春滨湖区期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．矩形的两条对角线相等
D．菱形的每一条对角线平分一组对角
【变式2-3】（襄城区模拟）下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．任意画一个四边形，它的内角和是360°
B．若a辉南四中＝b，则a2＝b2
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上
D．一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5
【考点3 概率与方程】
【方法点拨】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【例3】（齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜外完全相同的红、白、黑三种颜的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（ ）
A．27 B．23 C．22 D．18
【变式3-1】（南安市模拟）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（
）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【变式3-2】（大洼区三模）在一个不透明的袋中有4个白球和n个黄球，它们除颜外其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则n＝（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【变式3-3】（厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝1 B．a＝3 C．a＝b＝c D．a＝（b+c）
【考点4 几何概型】
【方法点拨】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
几何概型的特点:1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. 2)每个基本事件出现的可能性相等.
【例4】（鞍山一模）如图，在一不规则区域内，有一边长为3米的正方形，向区域内随机地撒4000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆有1350颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积．
（1）随机向不规则区域内掷一粒黄豆，求黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率；
（2）请你估计出该不规则图形的面积；
【变式4-1】（春东明县期末）如图所示的正三角形区域内投针（区域中每个小正三角形除颜外完全相同），针随机落在某个正三角形内（边线忽略不计）
手术器械包
（1）投针一次，针落在图中阴影区域的概率是多少？
（2）要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出．
【变式4-2】（春沂源县期中）（1）如图所示是一条线段，AB的长为10厘米，MN的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一点，求这个点取在线段MN上的概率．
（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为20cm，小圆的直径为10cm，一只小鸟自由自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是 ．
【变式4-3】（镇江模拟）有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）＝．有一块边长为30cm社会科学论坛的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
【考点5 利用树状图求概率】
【方法点拨】列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【例5】（南关区校级模拟）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
（1）随机抽取一张卡片，则抽到数字“2”的概率是 多媒体教室中控系统；
（2）从四张卡片中随机抽取2张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到“数字和为5”的概率．
【变式5-1】（春河口区期末）随着改革开放进程的推进，改变的不仅仅是人们的购物模式，就连支付方式也在时代的浪潮中发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外，还有、支付宝以及其他支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【变式5-2】（振兴区校级二模）爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q值，两次结果记为（p，q）．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率．
【变式5-3】（云南模拟）将正面分别写着数字﹣2，1，3，6的四张卡片（卡片除数字外，其它都相同）洗匀后，背面向上放在桌子上，从中先随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字，不放回，再从中任取一张卡片，记下数字．
（1）请用列表或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，列出所有可能出现的结果；
（2）请计算两次摸出的卡片上的数字之和大于4的概率．
【考点6 用列表法求概率】
【方法点拨】列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【例6】（郫都区模拟）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“优”、“教”、“郫”、“都”的四
个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“优”的概率为多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出两个球上的汉字能组成“优教”或“郫都”的概率．
葛洲坝水电站【变式6-1】（长春三模）《中国诗词大会》栏目中，外卖小哥击败北大硕士引发新一轮中华优秀传统文化热．某文化中心开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》、《孟子》（依次用字母A，B，C，D分别表示这四个材料），将A，B，C．D分别写在4张完全相同的不适明卡片的正面，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时甲选手先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由乙选手从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．用画树状图或列表的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．
【变式6-2】（长春模拟）苏宇为帮助同桌李蕾巩固“平面直角坐标系中点的坐标特点”这基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片止面分别写上了﹣3，0，2三个数字，背面向上
洗匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记为a，放回该卡片重新洗匀，再从三张卡片中随机取出一张，将卡片上的数字记为b，然后让李蕾在平直角坐标系中出点M（a，b）的位置．请你用画树状图或列表的方式帮李蕾求点M落在第二象限的概率．
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