一亿到底有多大
热点之一，高考对古典概型问
题的考查主要围绕 理解古典
应用意识㊂下面就古典概型
中的常见题型及解题方法进
行归纳，希望对同学们解决这
类问题有所帮助㊂
一㊁直接列举
涉及一些常见的古典概
型问题，可把事件所有发生的
结果逐一列举出来，然后进行
求解㊂
例1湖北省2019年公
布了新的高考方案，实行 3+1+2 模式㊂某学生按方案要求任意选择，则该生选择考历史和化学的概率为㊂ 解：利用列举法，先列出这名学生在 3+ 1+2 中对 1+2 选择的所有可能情况，再列出选择考历史和化学的情况，最后根据古典概型求出该生选择考历史和化学的概率㊂根据新的高考方案，可知 3+1+2 模式中, 3 是高考中必考的3门科目，即语文，数学，外语, 1 是必须在物理和历史中选择1门, 2 是在生物㊁化学，地理，政治中选择2门㊂对于任一名学生，其在 3+1+2 中对 1 +2 选择的所有可能情况如下:①物理，生物，化学,②物理，生物，地理,③物理，生物，政治,④物理，化学，地理,⑤物理，化学，政治,⑥物理，地理，政治,⑦历史，生物，化学,⑧历史，生物，地理,⑨历史，生物，政治,⑩历史，化学，地理, 历史，化学，政治, 历史，地理，政治㊂共12种不同选择方法㊂ 其中选择考历史和化学的有以下情况:①历史，生物，化学,②历史，化学，地理,③历史，化学，政治
㊂共3种不同选择方法㊂故在所有选项中该生选择考历史和化学的概率为312=14㊂
阿姆斯特朗评注：列举时，要注意按照一定的规律有顺序地列举，这样不容易产生重复和遗漏㊂
二㊁画树状图
涉及一些特殊的古典概型
问题，直接列举容易出错，可通
过画树状图，把思考过程有条
理㊁直观㊁简捷地展现出来，使得
列举结果不重不漏㊂
例2有编号互不相同的
5个砝码，其中5g,3g,1g砝码
丰子恺画画不要脸各1个,2g砝码2个，从中随机
选取3个，则这3个砝码的总质
量为9g的概率是㊂(结果
用最简分数表示)
解：设 这3个砝码的总
质量为9g 为事件A，把5g,
3g,1g砝码分别编号为a,b, c,2个2g砝码分别编号为d1,d2㊂从这5个砝码中随机选取3个，所有可能结果用图1所示的树状图直观地表示出来
㊂
图1
由图可以看出，试验的所有可能结果有60种情况，这60种情况的出现是等可能的，本题属于古典概型㊂
私家侦探合法吗由于9可以分成5+3+1或5+2+2，即(a,b,c)或(a,d1,d2)，因此，在这60种情况中,3个砝码的总质量为9g的所有可能结果有12种情况，所以P(A)=1260=15㊂
评注：利用树状图，可以很直观地列举出所有的可能结果，不容易出现重复和遗漏㊂三㊁利用频率估计概率
统计的基本思想是研究如何从样本的统
9数学部分㊃知识结构与拓展
高一使用2021年3月
计性质去推测相应总体的统计性质，即如何根据样本去探求有关总体的规律性㊂用频率估计概率是统计与概率的重要内容之一㊂例3某学生兴趣小组随机调查了某市
100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据如表1(单位：天)㊂
表1
锻炼人次
空气质量等级
[0,200](200,400](400,600] 1(优)21625
2(良)51012
碱血症
3(轻度污染)678
4(中度污染)720
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率㊂
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)㊂
解:(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为2+16+25
100=
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略0.43，等级为2的概率为5+10+12
100=0.27，等级为3的概率为6+7+8
100=0.21，等级为4的概率为7+2+0
100=0.09㊂
(2)利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100即得平均数㊂由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼人次的平均数的估计值为100ˑ20+300ˑ35+500ˑ45
100=350㊂评注：利用频数分布表计算频率和平均数，体现了转化思想和估算的思想㊂
四㊁巧用对立事件
有些事件之间，一个发生，另一个就不会发生，即两个事件不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件㊂两个互斥事件在一次试验中的可能结果有两种：一种是都不可能发生，另一种是有且只有一个发生㊂互斥事件的概率计算可用加法进行，如对于互斥事件A与B，则P(A+B)=P(A)
+ P(B)㊂两个互斥事件A和B，其中必有一个发生，称其为对立事件，即事件A发生，则事件B一定不发生；事件A不发生，事件B一定发生㊂因此，互斥事件不一定是对立事件，但
对立事件一定是互斥事件㊂求对立事件的概
率是 正难则反 思想的具体应用㊂
例4若某体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()㊂
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
解：设 不用现金支付 为事件A, 既用现金支付也用非现金支付 为事件B, 只用现金支付 为事件C，则事件A,B,C是彼此互斥事件，所以所求概率P(A)=1-P(B)-P(C)= 1-0.15-0.45=0.4㊂应选B㊂
评注：对于较复杂事件的概率问题，要善
于将其分解为几个互斥事件的和，或运用对
立事件的概率关系P(A)=1-P(A)进行转化求解，这充分体现了转化的思想㊂
五㊁活用对称性
对一些具有一定对称性的古典概型问
题，通过列举等可能基本事件的个数，并结合
古典概型的概率公式来处理往往比较复杂,
若利用对称思维，则可以快速解决这类问题㊂
例5现有A,B,C,D,E共5人站成一排，则A在B的右边(A,B可以不相邻)的概率是多少?
解：根据A,B两者的对称性，可以判断A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，进而可以直接求出概率㊂
由于A,B可以不相邻,A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，且A在B 的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有等可能基本事件的总数㊂
所以A在B的右边的概率是
1
2㊂
评注：利用对称性解决一些特殊的古典
概型问题，一定要注意具有对称的两者的地
位是相当的㊂如果两者的地位不相当或是有
其他限制条件，这时就不具有对称性，不能利
用对称思维来分析与处理㊂
作者单位：江苏省无锡市青山高级中学
(责任编辑郭正华)
0 1数学部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年3月
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议