不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括：
(1)分离整数法
此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程的整数解
解 已知方程可化为
因为y是整数，所以也是整数.
由此
x+2=1，-1，3，-3，即
x=-1，-3，1，-5，
相应的
所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).
(2)辗转相除法
此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：
第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);
第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;
第三步，用辗转相除法解不定方程.
例2 求不定方程的整数解.
解 因为,所以原方程有整数解.
用辗转相除法求特解:
所以
则特解为
通解为
或改写为
(3)不等式估值法
先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.
例3 求方程适合的正整数解.
解 因为
所以
所以
即
花木马女装所以
所以
当时有
所以
所以
所以
所以
当时有
工人阶级领导一切所以
所以
所以
所以
(4)逐渐减小系数法
此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.
例4 求不定方程的整数解.
解 因为，所以原方程有整数解.
有，用来表示，得
刀述仁
则令
由4<37,用来表示,得
令将上述结果一一带回，得原方程的通解为
注 解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.
对于二元一次不定方程来说有整数解的充要条件是.
(5)分离常数项的方法
对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.
例5 求不定方程的整数解.
解 原方程等价于
因为
所以
绍兴县鉴湖小学
所以原方程的通解为
(6)奇偶性分析法
从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用或代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.
例6 求方程的正整数解.
解 显然,不妨设
因为328是偶数，所以、的奇偶性相同，从而是偶数.
令
则、
所以
代入原方程得
同理，令
、
于是，有
xcel再令
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得
此时，、必有一奇一偶，且
取得相应的
所以，只能是
从而
结合方程的对称性知方程有两组解
(7)换元法
利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.
例7 求方程的正整数解.
解 显见，为此，可设其中、为正整数.
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