亚历山大后期和希腊数学的衰落通常从公元前30-公元6世纪的这一段时期,称为希腊数学的"亚历山大后期". 亚历山大后期的希腊几何,已失去前期的光辉.这一时期开始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦(Heron,公元前1世纪-公元1世纪间),代表作《量度》,主要讨论各种几何图形的面积和体积的计算,其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公式 ( 为三角形面积, 为边长, ),其实这一公式最先为阿基米德所发现. 亚历山大后期几何学最富创造性的成就是三角学的建立.这方面最卓越的代表人物托勒玫(Ptolemy,约100-170),在其天文学名著《天文学大成》中总结了在他之前的古代三角学知识,为三角学的进一步发展和应用奠定了基础. 《大成》对于三角学最有意义的贡献是其中包含的一张弦表,即不同圆心角的弦长表(实质上相当于正弦函数表),而且说明了编制这种表的数学原理. 托勒玫的《大成》因提出地心说而成为整个中世纪西方天文学的经典.地心说后来被基督教尊为教条,文艺复兴时期被哥白尼日心说所取代.比较而言,《大成》的三角学贡献却使托勒玫在数学史上取得了牢固的地位. 亚历山大后期希腊数学的一个重要特征,是突破了前期以几何学为中心的传统,使算术和代数 成为独立的学科.这方面的先行者是尼可马科斯(Nichomachus,约公元1世纪).尼可马科斯著《算术入门》是第一本完全脱离了几何轨道的算术书,希腊人所谓"算术"是指今天的数论,而关于计算的学问则被他们称之为"逻辑斯谛"(Logistica).不过,在所有亚历山大后期的数学著作中,对古典希腊几何传统最离经叛道的一本是丢番图(Diophantus)的《算术》.这部具有东方彩的著作,用纯分析的途径处理数论与代数问题,可以看作是希腊算术与代数成就的最高标志. 关于丢番图的年龄,是从丢番图的墓志铭获悉的,内容是说:丢番图的童年占一生的 此后过了一生 的开始长胡子;再过一生的 后结婚;婚后5年生了个孩子,孩子活到父亲一半的年龄;孩子死后4年父亲也去世了.问丢番图活了多少岁 答案正是84岁. 《算术》是一本问题集,据作者自序称全书共13卷,但15世纪发现的希腊文本仅有6卷.1973年在伊朗境内的马什哈德地方又发现了4卷阿拉伯文本,这样现存的丢番图《算术》共10卷(1~10),含290个问题. 丢番图《算术》特别以不定方程的求解而著称.所谓"不定方程",是指未知数个数多于方程个 数的代数方程(组).丢番图是第一个对不定方程问题作广泛,深入研究的数学家,以至我们今天常常把求整系数不定方程的整数解的问题叫"丢番图问题"或气凝胶
"丢番图分析". 《算术》中最有名的一个不定方程是第2卷问题8,丢番图的表述是:将一个已知的平方数分成两个平方数.问题相当于已知平方数 ,求数 和 ,使 . 这问题之所以有名,主要是因为17世纪法国数学家费马在阅读拉丁文本《算术》是对该问题所作的一个边注,人体名称妙喻
引出了后来举世瞩目的"费马大定理" 丢番图《算术》的另一项重要贡献是创用了一套缩(suo)写符号.特别是他使用了特殊的记号来表示未知数,据考证这个符号是ζ. 丢番图还用专门的符号来记乘幂,二次幂记为 三次幂是 ,四次幂是 五次幂 等等.减号为 ,方程中所有的负项都放在一个减号后,未知数乘幂的系数是用放在该幂号后的希腊数字表示,常数项记作 (西西弗斯上面带一个.). 这样,方程 记作丢番图使用的是所谓爱奥尼亚数字亚历山大最后一位重要的数学家是帕波斯(Pappus,约公元300-350).亚历山大晚期的数学研 究大都以对前代名家著作评注的形式出现.在众多的评注家中,帕波斯是最出的一位.他唯一的传世之作《数学汇编》(Mathematical Collection),就是一不荟萃总结前人成果的典型著作,在数学史上有特殊的意义.
《 数学汇编》也包含了帕波斯本人的创造性贡献.突出例子有等周问题;在周长相等的平面图形中,圆的面积最大.帕波斯还据此考察了蜂巢结构的某种极值性质.关于旋转体体积的帕波斯定理—一平面图形绕同一平面上的轴线旋转形成的立体体积,等于这图形的面积乘以其重心所画圆周的长,到17世纪被古尔丁(P.Guldin)重新发现.
《 数学汇编》被认为是古希腊数学的安魂曲.帕波斯之后,希腊数学日渐衰微.基督教在罗马被奉为国教后,对异教学者横加迫害.公元415年,女数学家希帕蒂亚(Hypatia)被一基督残酷杀害.这预示了在基督教的阴影的笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运.
希腊数学的衰落
公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明。海伦(约公元62)、门纳劳斯(约公元100)、帕普斯等人都有重要贡献。天文学家托勒密将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础。还有丢番图开创了一元一次方程的一般解法
海伦
• 这一时期开始阶段唯一值得一提的是几何家海伦
• 这一时期开始阶段唯一值得一提的是几何家海伦(约公元1世纪）代表做《量论》其中提出了确定罗马和亚历山大之间的时差问题的一个较复杂的方法，并用这种仪器观测两地的月食．
• 海伦的著作主要是由几何学、应用几何学、应用机械学合编成的一部百科全书性质的书籍---《几何》．在这部著作中，阐述了象测量仪一类器具的使用方法．他还注释了欧几里得的著作以及撰写有关面积和体积的书籍，但其名著是《测量术》．这部著作分三篇，第一篇是面积的计算；第二篇是体积的计算；第三篇是解决面积和体积的有关比例问题．
• 海伦是通过具体的三角形推出此公式的，首先假定三角形的边长分别是13，14，15．海伦给出二种方法计算，其一是利用三角形的高来求面积，其二是不求出高，利用三边求面积，他按如下步骤计算．
• (1)将三边长相加 13＋14＋15＝42．
• (2)取和的一半 42÷2=21．
•
痉挛药渍
• (△表示三角形面积，a、b、c为三边长)
• 这就是著名的海伦公式．
托勒密
• 三角学在西方的最早的奠基人是希腊的希帕霍斯(Hippa－rchus，？---公元前127以后)．他是古希腊的天文学家．为了天文观测的需要，作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍，可惜这份表没有保存下来．
• 继承和发展了希帕霍斯研究成果的，是古代天文学的集大成者托勒密(ptolemy，约100---约170)．他撰写一部天文学著作，原名为《数学汇编》，后来译成阿拉伯文，再转译成拉丁文，变成我在美国当市长助理Almagest的书名，意为《天文集》，这是一部主张“日心说”的著作．
• 托勒密在天文学上的研究，试图建立能精确确定某些关系的规则，正是为了改善天文计
算为目的，三角学才应运而生．因此，球面三角学的研究先于平面三角学．
托勒密的天文学研究
• 古代天文学的集大成者托勒他撰写一部天文学著作，原名为《数学汇编》，后来译成阿拉伯文，再转译成拉丁文，变成Almagest的书名，意为《天文集》，这是一部主张“日心说”的著作．试图建立能精确确定某些关系的规则，正是为了改善天文计算为目的，三角学才应运而生．因此，球面三角学的研究先于平面三角学．
• 托勒密曾怀疑过欧几里得平行公设，试图利用《几何原本》中的其它公理和公设推出第五公设，使之去掉欧几里得的一系列原始假定，但未能成功．
代数学的鼻祖-丢番图
• 丢番图是古希腊后期的一位数学家。关于他的生年，后人几乎一无所知，既不知他生于何地，也不晓得他卒于何年，人们只是从他那奇妙的碑文中对他稍有了解
• 他的墓碑上镌刻着谜语般的一段话，也是一道有趣的数学题，它记载了丢番图的一生：“
过路人，丢番图长眠于此，它会告诉你丢番图的寿命。他生命的1/6是童年，生命的1/12是青少年时期，又过了生命的1/7他才结婚，婚后5年有了一个孩子，孩子活到他父亲一半的年龄便死去了，丧子之后，丢番图在数学研究中寻求慰籍，又度过了4年，终于结束了自己的一生
• 丢番图著有《算术》一书，全书13卷，却只保留下来6卷。在书中，他已开始借助符号来代替语言叙述，并有了关于一元一次方程的一般解法。因此有人称丢番图是“32章交换不带套奉献代数学的鼻祖”。
•
• 这是最早出现的应用一元一次方程求解的问题。可以这样进行计算：
• 设丢番图活了X岁，依题意得：X= x/6+ x/12+ x/7+5+ x/2+4
• 解得X=84
• 可知丢番图的寿命是84岁。
帕普斯与《数学汇编》
• (MathaematicalCollections)，此书共8篇，只第一、二篇的一部分保存下来了，其余部分都已失传．《数学汇编》一书统一了希腊早期几何学知识，开始进一步探求解决古代三个著名几何难题的方法，并做重要补充，其中包括对立体几何、高次平面曲线和等周问题的详尽处理．
• 按照解题所需的曲线性质，帕普斯进行了分类．他说：“我们已考虑过三种几何学问题．即：平面问题，立体问题，线性问题．那些可以用直线和圆周来解决的问题，都称为平面问题，因为用来解决这类问题的线的起源是在平面内．那些要靠一条或一条以上的圆锥曲线来解决的问题称为立体问题，因为在这些问题的作图中要用到立体图形的面，例如圆锥曲线．还有第三类问题：它们叫做线性问题，因为在这些问题的作图中必须用到不同于刚才所述的线，它们有着不同的并且更复杂的起源，或者它们是由于运动而产生的．属于这类线的是螺旋线或螺线、割圆曲线、蚌线、蔓叶线等等．”
• 《数学汇编》中含有两个重要等周问题．即：(1)在所有周长相同的圆弓形中，以半圆为最大．(2)在所有表面积相等的立体中，以面数最多的立体为最大．这部著作中，记载着
著名的“帕普斯问题”，即：“若从任一点作直线与五条具有给定位置的直线在各个给定角度上相交，并且其中三条直线所围之长方体的体积与其余两条直线和一给定直线所围之长方体的体积的比是给定的，那么这一点仍将落在给定位置的曲线上．”笛卡儿曾试图用分析方法解决这一问题，导致其发现了解析几何学的原理．
• 《数学汇编》的水平和价值虽然不能与希腊黄金时代的名著相比，但是，它是在希腊数学衰落时的著作，从而展现出它的特殊意义．
希腊后期代数学的发展
• 在希腊后期，代数学获得了重大发展．发展的标志之一是对数学符号的使用．历史学家内塞尔曼(G．H．F．Nesselmann)在1842年对代数学符号历史发展概括出三个阶段．第一阶段，称为文字叙述代数(rhetorical algebra)，即对问题的解，不用缩写和符号，而是写成一篇论说文章．第二阶段，称为简化代数(Syncopatedalgebra)，即对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法．第三阶段，称为符号代数(Symbolic algeb－ra)，即对问题的解，多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与其所表现的内容没有什么明显的联系．希腊代数学在此之前都是文字叙述，而在此之后，代数学开始出现简化的倾向，对一些常用
的量和运算采用了缩写的方法
希腊数学的衰退
• 在公元最初几个世纪里一直持续着．当丢番图去世后，到了公元5世纪时，希腊数学到达了衰落的顶点．当时罗马已经成为世界之王，她的领土从印度河一直伸展到直布罗陀海峡，从尼罗河直到不列颠海岸．由于罗马人不关心智慧的追求，只需要食物和娱乐(Panem et circenses)，大部分人除此之外皆漠不关心，因此，罗马人在头几个世纪里，他们对数学或科学的发展贡献很小．西撒罗在他的塔斯克来尼恩讲话(Tusculanian Oratio ns)中曾为这个事实而痛惜．他感叹道：“希腊人给予几何学家以最高的荣誉；因此他们中间没有什么东西比数学发展得更光辉灿烂了．但是我们却把这门艺术局限于测量和计算的应用方面．”
• 随着凯撒城在公元455年的陷落，罗马的统治权实际上已告结束．在此40年前，即公元415年，亚历山大里亚的著名学者赛翁之女希帕蒂亚(Hypatia，约370---415)惨遭一基督教杀害．她是古希腊最后一位数学家，曾协助父亲完成对欧几里得《几何原本》的评注，还评注过丢番图的《算术》和尼奥斯的《圆锥曲线论》．她的死标志着通常被
称为黑暗时期的那段荒芜时期的开始．希腊古代文明历史结束了，在随后的3个世纪左右，欧洲一直处于科学文化的衰退之中，即黑暗时期．
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