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费马定理

费马大定理

秦卫刚个人简历

费马大定理
在数论领域，费马的名字因“费马大定理”而特别响亮。费马大定理亦称“费马猜想”，最先由费马在阅读巴歇（CBachet）校订的丢番图《算术》时作为卷2命题8的一条页边批注而提出。 1670年费马之子萨缪尔（Samue1）连同其父的批注一起出版了巴歇的书的第二版，此后三个多世纪，费马大定理成为世界上最著名的数学问题，吸引历代数学家为它的证明付出了巨大的努力，有力地推动了数论乃至整个数学的进步；1994年，这一旷世难题被英国数学家威尔斯（A。Wi1es）解决以下就是费马的页边批注，原文为法文，

把一个数的立方分成另两个数的立方和，把一个数的四次方分成另两个数四次方的和，或一般地，把一个数的高于2的任何次方分成两个数的同次方的和是不可能的。我确信已到了一个极佳的证明，但书的空白大窄，写不下。
费马小定理
费马经常把他的一些研究结果写信告诉其他数学家。在1640年10月18日致德·贝西（RRdeBessy）的一封信中包含了后以" 费马小定理”著称的如下结果：如果p 是素数，a与p 互素，则被p 整除。费马曾对欧凡里得《几何原本的定理》，36很感兴趣，该定理是说：如果2”一1是素数，则形如2～’（2”一1）的数是完全数，即它等于其所有因子的和。这种像2一‘的数费马叫做完全数的根。在1640年6月写给梅森神父（M。 Mersenne的信中费马有如下结论：如果n 非素，贝 2”一 1非素；如果”是素数，则2”一2可被门整除；如果”是素数，贝：J 2、一：只能被形士口2kn＋i的素数整除。同年8月在给贝西的信中，费马讨论了2、＋1型的数（当”一2’时， 22t＋1型数后被称为“费马数”。）费马在10月18日写给贝西的信中首先回顾了上述诸信的结果，然后转向“费马小定理”。以下摘录该信有关部分，转译自趴J．Struik：A、 Source BOok in Math． pp。 28～29。 1640年10月10 H费马写给贝西（de Bessv）（1605～1675）的一封信：
上次信后。我觉得还应该告诉你我构造的所有有关那个几何级数的证明的根据是什么。内容如下：
①1640年8月，费马曾写信给贝西，信中说他“几乎确信·：当”为2的幂时，2”十：型的数是素数。我们现在知道，”：2，4，8，16时此命题成立，但“＝32时的情况后来、被欧拉证明是不对的，此时232＋1可被641整除。每个素数总是任意级数①中的一个幂减：的因子，而幂指数是该素数减：的因子，当到满足这个命题的第一个指数后，则以此指数的倍数为幂指数的所有幂也都满足命题。
例：设给定级数
1 2 3 4 5 6
3 9 27 81243 729···
幂指数写在上面一行。比如素数13，它是三次幂减：的因子，指数3又是12（即13一1）的因子，729的幂指数是6，它是第一个满足条件的指数3的倍数，那么13也是729减：的一个因子。这一命题对所有级数和素数都是正确的。若非怕篇幅过长，我就会寄给你这个命题的证明。。但是，“每个素数都是任何这种级数中的一个幂加：的因子”，这个命题却不一定正确②。因为若所说的素数是一个幂减：的因子，其指数若是奇数，则在这种情况下这个素数就不是级数中下文幂加：的因子；
例：在之的直至无穷的级数中，23是2的11次幂减：的因子，但它不是2的某个幂加：的因子。但如果第一个使所给的素数是一个幂减：的因子的指数是偶数，则在这种情况下，原指数的一半为指数的幂加：＝将以给定的素数作为它的一个因子。所有的难点在于出那些素数，它们不是给定的级数中的任何幂加：的因子。因为这有助于发现哪些素数是完全数的根的因子，也有助于发现许许多多别的事情，诸如为什么2的37次幂减1有因子223。总而言之，我们必须确定哪些素数力最小幂减：的因子，这里的幂指数为一奇数——我认为这是很困难的。

三大几何作图问题

三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问题研究的学者也很多，欧托基奥斯（Eutocius，约480～？）曾记载了柏拉图、埃拉托塞尼（Eratosthenes，约276B.C.～195B.C.）、尼奥斯（Apollonius，约262B.C.～190B.C.）和帕波斯（Pappus，约300～350）等人共12种作图方法：尼科米迪斯（Nicomedes，约250B.C.左右）、帕波斯等人则给出了三等分角的方法。当然所有这些研究都无法严格遵守尺规作图的限制，但它们却引出了大量的新发现（如圆锥曲线、许多三、四次曲线和某些超越曲线等），对整个希腊几何产生巨大影响。三大作图问题自智人学派提出之时起，历经二千余年，最终被证明不可能只用直尺、圆规求解（1837年旺策尔「P.L.Wantze1」首先证明了倍立方和三等分任意角不可能只用尺规作图；1882年林德曼［C.L.F.Lindemann】证明了π的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能）。
关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智人学派之后一些希腊学者的著述中留有记载，这些分散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料。以下选录部分内容，各节作者与出处将随文注明。
倍立方
A。赛翁论倍立方问题的可能起源0埃拉托塞尼在其题为《柏拉图》的著作中写道：当先知得到神的谕示向提洛岛的人们宣布，为了止息瘟疫，他们必须建造一个祭坛，体积是现有那个祭坛的两倍时，工匠们试图弄清怎样才能造成一个立体，使其体积为另一个立体的两倍，为此他们陷入深深的困惑之中，于是他们就这个问题去请教柏拉图。柏拉图告诉他们，先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛，而是因为他希望通过派给他们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视。
B。普罗克洛斯论希波克拉底对这一问题的筒化。O“简化”是将一个问题或定理转化成另一个已知的或已构造出的问题或定理，使得原命题清晰明了。例如，为解决倍立方问题，几何学家们转而探究另一问题，即依赖于到两个比例中项。从那以后，他们致力于如何到两条已知线段间连比例中的两个中项的探索。据说最先有效地简化这些困难作图的是希俄斯的希波克拉底民他还化月牙形为方，并作出许多几何学上的其他发现。说到作图，如果曾经有过这方面的天才的话，这个人就是希波克拉底。历史上传说，古代的一位悲剧诗人描述了弥诺斯为格劳科斯修坟，当弥诺斯发现坟墓的每一边都是一百尺时，他说：“你们设计显然这是一个错误。因为如果边长加倍，表面积变成原来的四倍，体积变成八倍。当今的几何学家们也在探索将已知立方体的体积加倍而不改变其形状的途径。这个问题以二倍立方体著称，即已知一个立方体，他们想办法将其力温柔木马”倍。当长期以来所有的探索都徒劳无功时，希俄斯的希波克拉底最先发现，如果能到一个方法，作出已知的两条线段间连比例中的两个比例中项，其中长线段是短线段的两倍，立体就被，。倍。这样他的难点被分解成另一个不太复杂的问题。
“后来传说，某些提洛岛的人为遵循先知的谕示，想办法将一个祭坛加倍，他们陷入了同样的困境。于是他们派代表去请求学园中柏拉图学派的几何学家帮他们到解法。这些几何学家们积极地着手解决这个问题，求两条已知线段间顺个比例中项。据说塔林敦的阿尔希塔斯应用半圆柱体得到一种解法，而欧多克索斯用了所谓的“曲线＼所有解决这一问题的人在寻演绎的证明方面是成功的，但除门奈赫莫斯①（尽管他只是很勉强地做到）夕），他们都不能用行之有效的方法证明这个作图小现在我发现了一种简单方法，通过应用一种器具，不仅能得到两线段问的两个比例中项，而且能得到所需要的许多比例中项。应用这一发现，我f（i儿科学精品课程能够将任何表面是平行四边形的已知立体化成立方体，或者将其从一种形状变成另一种形状，而且也可以作出一个与已知立体形状相同，但体积大一些的立体，也就是保持相似性。……
17．2．化圆为方
A。安蒂丰化圆为方①安蒂丰画了一个圆，并作一个能够内接于它的多边形。我们假设这个内接图形是正方形。然后他将正方形的每边分成两部分，从分点向圆周作垂线，显然这些垂线平分圆周上的相应弧段。接着他从垂线与圆周的交点向正方形边的端点连线，于是得到四个以线段（即正方形的边）为底的三角形，整个内接的图形现在成为八边形。他以同样的方法重复这一过程……，得到的内接图形为十六边形。……他一再地重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭，一个多边形将内接于圆，由于其边极微小，将与圆重合。正如我们从《原本》中所知，既然通常我们能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么注意到与圆重合的多边形与圆相等，事实上我们就作出了等于一个圆的正方形。②B。布里松化圆为方③……他作一个正方形外切于圆，作另一个正方形内接于圆，在这两个正方形之间作第三个正方形。然后他说这两个正方形（即内接和外切正方形）之间的圆及中间的正方形都小于外部的正方形且大于内部的正方形，他认为分别比相同的量大和小的两个量相等。因此他说圆被化成正方形。

三等分角
帕波斯论三等分一个角的方法①……当早期的几何学家们用平面方法探究上述关于角的问题时民他们无法解决它，因为这个问题从性质来看是一个立体问题,由于他们还不熟悉圆锥曲线，因此陷于困惑由于他们还不熟悉圆锥曲线，因此陷于困惑。但是他们后来借助于圆锥曲线用以下描述的斜伸法将角三等分。
用斜伸法解
已知一个直角平行四边形ABΓΔ,延长BΓ，使之满足作出AE，使得线段EZ等于已知线段。

假设已经作出这些，并作ΔH，HZ平行于EZ，EΔ。由于ZE已知且等于ΔH，所以ΔH也已知.Δ已知，所以H位于在适当位置给定的圆周上。由于BΓ，ΓΔ包含的矩形已知且等于BZ，EΔ包含的矩形已知，即BZ，ZH包含的矩形已知，故H位于一双曲线上。但它也位于在适当位置给定的圆周上，所以H已知.

证明了这一点后，用下述方法三等分已知直线角。

首先设ABΓ是一个锐角，从直线AB上任一点作垂线AΓ，并作平行四边形ΓZ，延长ZA至E,由于Γz是一个直角的平行四边形，在EA，AΓ间作线段EΔ,使之趋于B且等于AB的两倍米奇的甜心屋——上面已经证明这是可能的，我认为EBΓ是已知角ABΓ的三分之一。
因为设EΔ被H平分，连接AH，则三条线段ΔH，HA，HE相等，所以ΔE是AH的两倍。但它也是AB的两倍，所以BA等于AH，角ABΔ等于角AHΔ。由于AHΔ等于AEΔ,即ΓBΔ的两倍，所以ABΔ等于ΔBΓ的两倍。如果我们平分角ABΔ,那么就三等分了角ABΓ。

用圆锥曲线的直接解法
这种立体轨迹提供了另一种三分已知弧的方法，不必用到斜线。

设过A,Γ的直线在适当的位置给定，从已知点A,Γ作折线ABΓ,使得角AΓB是角ΓAB的2倍，我认为B位于一双曲线上。

因为设BΔ垂直于AΓ并且截取ΔE等于ΓΔ,当连接BE时，它将与AE相等。设EZ等于ΔE,所以ΓZ=3ΓΔ.现在置ΓH等于AF/3，所以点H将给定，剩下部分AZ等于3*HΔ.

由于BE*BE-EZ*EZ＝BΔ*BΔ，且BE*BE一EZ*EZ=ΔA*AZ，所以ΔA*AZ=BΔ*BΔ，即3*AΔ*ΔH=BΔ*BΔ，所以B位于以AH为横轴， AH为共轭轴的双曲线上。显然Γ点在圆锥曲线顶点H截取的线段ΓH是横轴AH的二分之一。
综合也是清晰的。因为要求分割AΓ使得AH是HΓ的2倍 ,就要过H以AH为轴画共轭轴为 AH的双曲线，并且证明它将使我们作出上面提到的具有2倍之比的角度。如果A，Γ两点是弧的端点，那么以这种方法画的双曲线截得已知圆上的一段弧的三分之一就易于理解了。

外国数学名人			中国数学名人
欧几里德	阿基米德	尼奥斯	刘徽	张丘建	贾宪
韦达	丢番图	裴波那契	秦九韶	李冶	朱世杰
开普勒	费马	牛顿	祖冲之	祖暅	华罗庚
哥德巴赫	高斯	爬坡车道笛卡尔	陈景润	杨辉
希尔伯特	柯西	傅里叶
帕斯卡	布尔

“数学”名称的由来

牛津英语字典没有参照梵文。公元１０世纪的拜占庭希腊字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”—词。 “数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。

首先，亚里士多德提出，　“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯（公元前６４０？－－５４６年）在“纯校园监控系统方案”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼·拉尔修（Ｄｉｏｇｅｎｅｓ　Ｌａｅｒｔｉｕｓ）简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ）对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还

能预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚的成份。赫拉克利特（公元前５００－－？年）有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”，“人们不可能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。　

对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。事实上，从公元２世纪的拉丁作家格利乌斯（Ｇｅｌｌｉｕｓ）和公元３世纪的希腊哲学家波菲利（Ｐｏｒｐｈｙｒｙ）以及公元４世纪的希腊哲学家扬布利科斯（Ｉａｍｂｌｉｃｈｕｓ）的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。

Ｂａｃｏｎ，１２１４－－１２９２年）通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６－－１６５０年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而２０世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。　

在１８世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱（Ｍｏｎｔｕｃｌａ）说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中，或在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的确证。然而１９世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而２０世纪的古典学者却又偏向第二种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。

“数学”名称的由来

“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”，　“可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷（Ｅ．Ｌｉｔｔｒｅ　也是当时杰出的古典学者），在他编辑的法语字典（１８７７年）中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元１０世纪的拜占庭希腊字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”—词。 “数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。

首先，亚里士多德提出，　“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯（公元前６４０？－－５４６年）在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧

根尼·拉尔修（Ｄｉｏｇｅｎｅｓ　Ｌａｅｒｔｉｕｓ）简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ）对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚的成份。赫拉克利特（公元前５００－－？年）有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”，“人们不可能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。　

这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根（Ｒｏｇｅｒ　Ｂａｃｏｎ，１２１４－－１２９２年）通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６－－１６５０年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而２０世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。　

种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。

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