２０１８年５月
第４６卷第９期
机床与液压
ＭＡＣＨＩＮＥＴＯＯＬ＆ＨＹＤＲＡＵＬＩＣＳ
Ｍａｙ２０１８
Ｖｏｌ ４６Ｎｏ ９
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ ｉｓｓｎ １００１－３８８１ ２０１８ ０９ ０２１
收稿日期：２０１６－１１－０３
作者简介：杨帆（１９７６ ），男，硕士，讲师，研究方向为机械设计理论及机械系统动力学㊂Ｅ－ｍａｉｌ：ｙａｎｇｆａｎ＠ｗｉｃ ｅｄｕ ｃｎ㊂ 杨帆，吴贺利，罗晨晖
（武汉科技大学城市学院机电学部，湖北武汉４３００８３）
摘要：设计了一种通用型三自由度机械臂，该机械臂的３个转动自由度相互垂直㊂详细设计了各关节的传动方案，并建立了系统的三维模型㊂根据机械臂的结构特点，建立了机械臂的Ｄ－Ｈ坐标系，对其进行正运动学分析㊂最后利用蒙特卡洛法对该机械臂的工作空间进行分析，得到机械臂末段执行器的工作空间，仿真结果与机械臂的设计参数相符，为该机械臂的优化设计及逆运动学分析奠定了基础㊂ 关键词：机械臂；Ｄ－Ｈ坐标系；蒙特卡洛法；工作空间
中图分类号：ＴＰ２４２㊀㊀文献标志码：Ａ㊀㊀文章编号：１００１－３８８１（２０１８）０９－０８９－４
ＤｅｓｉｇｎａｎｄＡｎａｌｙｓｉｓｏｆａＴｈｒｅｅＤｅｇｒｅｅｏｆＦｒｅｅｄｏｍＭａｎｉｐｕｌａｔｏｒ
ＹＡＮＧＦａｎ，ＷＵＨｅｌｉ，ＬＵＯＣｈｅｎｈｕｉ
（ＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＣｉｔｙＣｏｌｌｅｇｅ，ＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＷｕｈａｎＨｕｂｅｉ４３００８３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｇｅｎｅｒａｌｒｏｂｏｔｗｉｔｈｔｈｒｅｅｄｅｇｒｅｅｏｆｆｒｅｅｄｏｍｓ（ＤＯＦｓ）ｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄａｎｄｔｈｅＤＯＦｓａｒｅｍｕｔｕａｌｖｅｒｔｉｃａｌ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｔｒａｎｓ⁃
ｍｉｓｓｉｏｎｓｃｈｅｍｅｓｏｆｅａｃｈｊｏｉｎｔｗｅｒｅｄｅｔａｉｌｅｄｄｅｓｉｇｎｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓａｎｄｔｈｅｔｈｒｅｅ⁃ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ（３Ｄ）ｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｓｙｓ⁃ｔｅｍｗａｓｂｕｉｌｔ．Ｓｅｃｏｎｄ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ，ｔｈｅＤｅｎａｖｉｔ－Ｈａｒｔｅｎｂｅｒｇ（Ｄ－Ｈ）ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄａｎｄｉｔｓｆｏｒｗａｒｄｋｉｎｅｍａｔｉｃｓａｎａｌｙｓｉｓｗａｓｄｏｎｅ．Ｌａｓｔ，ｔｈｅＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｍｅｔｈｏｄｗａｓａｐｐｌｉｅｄｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｗｏｒｋ⁃ｓｐａｃｅ，ａｎｄｔｈｅｗｏｒｋｓｐａｃｅｒａｎｇｅｏｆｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｅｎｄａｃｔｕａｔｏｒａｃｑｕｉｒｅｄ．Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｉｓｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｗｉｔｈｔｈｅｄｅｓｉｇｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ
水溶性润滑剂ｏｆｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ，ｗｈｉｃｈｗｉｌｌｍａｋｅａｗｅｌｌｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｄｅｓｉｇｎａｎｄｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓａｎａｌｙｓｅｓｏｆｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ；Ｄ－Ｈｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ；ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｍｅｔｈｏｄ；Ｗｏｒｋｓｐａｃｅ０㊀前言
关节型机械臂是由多个刚性连杆经关节连接而成，其结构与人类手臂类似，一般由腰部㊁大臂㊁小臂和手腕组成［１］㊂其特点是结构紧凑㊁所占空间体积较小㊁相对工作区间较大㊁并且能绕过基座周围的障碍物，是机械人中使用最广泛的一种结构，著名的机械臂生产商ＡＢＢ㊁ＫＵＫＡ㊁新松等都有一系列成熟的关节型机械臂［２］㊂能够实现抓取㊁放置㊁喷漆㊁码垛㊁焊接等功能，因此，对机械臂的研究具有重要的理论价值和现实意义［３］㊂
图１㊀几种关节型机械臂
机器人正运动学分析是在已知各关节转角时，求得机械臂末端空间位置的过程，是逆运动学分析的前提㊂正运动学分析过程一般使用Ｄ－Ｈ法建立机械臂的Ｄ－Ｈ坐标系，利用坐标转换求出机械臂的末端姿态［４］㊂醇基液体燃料
工作空间是机械臂末端所能达到的范围，是机械
臂运动灵活程度的重要指标之一，也是机器人是否存在逆解的依据㊂求解机械臂工作空间常用的方法有图解法㊁解析法和数值法㊂蒙特卡洛法是一种基于随机概率的算法，随着计算机技术的发展，蒙特卡洛法在求解及机械臂工作空间时得到了广泛的应用［５］㊂
本文作者根据实际需要，设计了一种通用型轻负
载三自由度机械臂㊂对各个关节的传动方案进行详细设计，并建立机械臂系统的样机模型㊂利用Ｄ－Ｈ法对机械臂进行运动学正分析，得出机械臂末端姿态空间位置，最后采用蒙特卡洛法对机械臂的工作空间进行分析，在Ｍａｔｌａｂ中仿真得出机械臂的理论工作
空间㊂
１㊀机械臂的结构设计
１ １㊀初始参数及初始方案
根据实际应用，机械臂的最大负载ｍ为６ｋｇ，最大伸展距离ｌ为１５００ｍｍ，三轴的转速及转角范围如表１所示㊂
表１㊀三轴转速及转角范围
转速／［（ʎ）㊃ｓ－１］范围／（ʎ）第１轴６０－１８０ １８０
第２轴９００ １２０
第３轴６０－１８０ １８０㊀㊀根据初始参数，机械臂３个轴的分布如图２所示，分别是腰部㊁大臂和小臂的转动㊂根据设计初始
参数，预估大臂和小臂的机械结构参数如表２所示
㊂
图２㊀机器臂的自由度
表２㊀机械臂设计参数
长度Ｌ／ｍｍ质心ｌ／ｍｍ质量ｍ／ｋｇ大臂８００５００８
小臂７００４００６
１ ２㊀机械臂结构设计
机械臂关节旋转常用的传动方式分为齿轮传动㊁同步带传动和链传动，文中选用齿轮传动，３个轴的传动示意图如图３所示㊂
第１轴采用直齿轮传动，传动比ｉ１＝２，大齿轮安装在交叉滚子轴承上㊂交叉滚子轴承的内滚子与滚道的接触属于线接触；在滚道截面呈９０ʎ垂直交叉间隔排列，能同时承载径向载荷和轴向载荷，其刚性是传统型号的３ ４倍［６］㊂因此，将机械臂腰部安装在大齿轮上，随着大齿轮的转动而实现腰部的旋转㊂第２轴和第３轴则采用锥齿轮传动㊂锥齿轮传动相比于直齿轮传动的特点之一是可以改变传动轴之间的方向㊂在机械臂的本体设计时，为了节省安装空间，将大臂和小臂的驱动电机分别置于大臂和小臂内部，因此，此处采用锥齿轮传动㊂传动比设计为ｉ２＝ｉ３＝２㊂设计的机械臂三维模型如图４所示
㊂连云港黄海机械厂
图３㊀
机械臂三轴传动设计
图４㊀机械臂的样机模型
２㊀机械臂的运动分析
２ １㊀Ｄ－Ｈ坐标系的建立
机械臂的初始状态如图４所示，机械臂各关节的几何关系一般可通过建立Ｄ－Ｈ坐标系来表示㊂在对
㊃０９㊃机床与液压第４６卷
机械臂进行运动学分析时，首先需要定义各个关节的坐标系，获取Ｄ－Ｈ参数表［７］㊂在初始位置下建立Ｄ－Ｈ坐标系，得到该机械臂Ｄ－Ｈ参数表如表３所示，其中，ａ（ｉ－１）是相邻运动副轴线之间的公垂线长度；α（ｉ－１）是相邻运动副轴线之间的夹角；ｄｉ是沿着ｚ轴，两条相邻的公垂线间的距离；θｉ是运动副的两条相邻公垂线之间的夹角
㊂
图５㊀建立Ｄ－Ｈ坐标系表３㊀Ｄ－Ｈ参数表
ｉａ（ｉ－１）
α（ｉ－１）／（ʎ）
ｄｉ
θｉ／（ʎ）１００
Ｌ０θ１（０）
２０
９００θ２（９０）３Ｌ１９００θ３（０）４
Ｌ２
０００２ ２㊀运动分析
串联机械臂的正运动学分析是在已知各关节转角
时，求得末端的位置和姿态㊂根据２ １节中建立的Ｄ－Ｈ坐标系可知
４
０
Ｔ＝１０Ｔ２１Ｔ３２Ｔ４３Ｔ
（１）
兰坪铅锌矿
由Ｄ－Ｈ法，可知
ｉ
ｉ－１
Ｔ＝
ｃθｉ
－ｓθｉ
０
ａ（ｉ－１）
ｓθｉｃα（ｉ－１）ｃθｉｃα（ｉ－１）－ｓα（ｉ－１）－ｓα（ｉ－１）ｄｉｓθｉｓα（ｉ－１）ｃθｉｓα（ｉ－１）
ｃα（ｉ－１）
ｃα（ｉ－１）ｄｉ００
０
１éë
ê
êê
êêùû
ú
ú
ú
ú
ú（２）
式中：ｃθｉ＝ｃｏｓθｉ，ｓθｉ＝ｓｉｎθｉ，ｃα（ｉ－１）＝ｃｏｓα（ｉ－１），ｓα（ｉ－１）＝ｓｉｎα（ｉ－１），ｉ＝１，２，３，４㊂
当３个关节由初始位置分别转动θ１，θ２，θ３时，
代入式（２），得到各个坐标变换矩阵ｉｉ－１Ｔ，由式（１）可得机械臂末端位置
４
０Ｔ＝ｎｘｏｘａｘｐｘｎｙ
ｏｙａｙｐｙｎｚｏｚａｚｐｚ０
０
０
１é
ëêêêêêùû
úúú
úú式中：
ｎｘ＝ｃθ１ｃθ２ｃθ３＋ｓθ１ｓθ３ｎｙ＝ｓθ１ｃθ２ｃθ３－ｃθ１ｓθ３ｎｚ＝ｓθ２ｃθ３
ｏｘ＝ｓθ１ｃθ３－ｃθ１ｃθ２ｓθ３ｏｙ＝－ｃθ１ｃθ３－ｓθ１ｃθ２ｓθ３
ｏｚ＝－ｓθ２ｓθ３ａｘ＝ｃθ１ｓθ２ａｙ＝ｓθ１ｓθ２ａｚ＝－ｃθ２
ｐｘ＝Ｌ１ｃθ１ｃθ２＋Ｌ２（ｓθ１ｓθ３＋ｃθ１ｃθ２ｃθ３）ｐｙ＝Ｌ１ｓθ１ｃθ２－Ｌ２（ｃθ１ｓθ３－ｓθ１ｃθ２ｃθ３）ｐｚ＝Ｌ０＋Ｌ１ｓθ２＋Ｌ２ｓθ２ｃθ３
（３）
当３个转角已定时，可根据式（３）求得机械臂
末端的位置Ｐ＝［ｐｘ㊀ｐｙ㊀ｐｚ］㊂
３ 机械臂工作空间分析
工作空间是在指机械臂的运动中，机械臂末端所能达到的工作点的集合，它是衡量机械臂机械结构性能的重要指标，因此对机械臂进行工作空间分析具有重要意义［８］㊂
蒙特卡洛法（ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏＭｅｔｈｏｄ）是一种利用
随机抽样来求解机械臂工作空间的常用方法㊂其基本思想是：机械臂的各关节是在其相应取值范围内工作，在取值范围内，随机遍历所有关节的转角，末端工作点的所有随机值的集合就构成了该机械臂的工作空间［９］㊂其求解步骤如下［１０］：
（１）由机械臂运动学分析，得出机械臂末端在基坐标系中的位置向量Ｐ＝［ｐｘ㊀ｐｙ㊀ｐｚ］㊂
（２）利用随机函数ｒａｎｄ（），产生随机步长（θｉｍａｘ－θｉｍｉｎ）㊃ｒａｎｄ（），得到机械臂关节变量的伪随机值
θｉ＝（θｉｍａｘ－θｉｍｉｎ）㊃ｒａｎｄ（）
式中：θｉｍａｘ和θｉｍｉｎ为关节变量的上下限；ｉ为关节数目㊂
（３）将（２）中产生的关节变量θｉ的伪随机值代入式（１）中的位置向量Ｐ，将求解的ｐｘ，ｐｙ和ｐｚ分别存储于矩阵Ｘ，Ｙ，Ｚ中㊂
（４）重复步骤（２）和（３）Ｎ次，得到矩阵
Ｘ（Ｎ），Ｙ（Ｎ），Ｚ（Ｎ）㊂重复次数Ｎ越大，越能反应
㊃１９㊃第９期杨帆等：一种三自由度机械臂的设计与分析
㊀㊀㊀塔式锅炉
机械臂的实际工作区间㊂
（５）将步骤（４）中得到的位置向量Ｘ（Ｎ），
Ｙ（Ｎ）和Ｚ（Ｎ）用描点的方式显示出来，即可得到机械臂的工作区间㊂
用上述方法对所设计的机械臂进行工作空间分析，取Ｎ＝１００００，得到该机械臂的工作空间如图５
所示㊂从图中可以看出，该机械臂的工作空间范围是ｘ⊂［－１５００，１５００］，ｙ⊂［－１５００，１５００］，ｚ⊂［２００，１７００］，机械臂的工作空间类似半个椭球㊂仿真出的工作空间符合各关节实际的工作空间，说明基于蒙特卡罗法的机械臂工作空间分析是正确可靠的螺线管
㊂
图６㊀机械臂工作空间
４㊀结论
设计了一种通用三自由度机械臂㊂该机械臂具有
３个相互垂直的自由度，对每个关节进行详细设计，并建立了系统的三维模型㊂
利用Ｄ－Ｈ法，建立机械臂的正运动学模型，对机械臂的运动学进行分析，得出机械臂末端的位置和
姿态㊂根据所得的末端位置，利用蒙特卡洛方法，分析了机械臂的工作区间，为机械臂的优化设计与逆运动学求解奠定基础㊂
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ｃｈｉｎｅｒｙ，２０１３，４４（４）：１９６－２０１．
（责任编辑：卢文辉）
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第４６卷
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