高等代数试卷(2)
1. 填空题:(2×10=20)
2.数域P上所有n阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是;3.设是线性空间V的两个子空间,则的充分必要条件是= ; 4.数域P上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是。5.设V是数域P上的n维线性空间,是V上一切线性变换所成的P上的线性空间,则dim(L(V))= 。
6.设是线性空间V的一组基,则由这个基到基的过度矩阵是。7.令P n[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式组成的线性空间,,则关于基下的矩阵是。
8.设是n维欧氏空间V上的一个正交变换,且(单位变换),则是变换。
汕头马会9.欧氏空间V上的对称变换的特征根都是数。
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10.设是n维欧氏空间V的一组标准正交基,则它的度量矩阵是。二.判断题(每题1分,计10分)
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1.设。()
2.两个等价的向量组一个线性无关,则另一个也线性无关。()3.若,,且V中的任意一个向量都可由线性表示,则实数是V的组基。()
4.线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。()
5.如果一个线性变换是单射,则它无零特征根。()
6.设是线性空间V上的一个线性变换,则的核与的象都是的不变子空间。()
7.如果W是欧氏空间的一个子空间,那么对V的内积来说,W也作成欧氏空间。()
虎鼬8.设是欧氏空间V上的一个正交变换,则对于夹角等于的夹角。()9.两个n元二次型(与(等价的充分必要条件是A与B合同。()10.实二次型(正定的当且仅当A合同于单位矩阵。()
三、证明题(10×3=30)
1.在一个欧氏空间里,对任意向量有不等式;且仅当线性相关时等式成立。
2.设V是数域P上的n维线性空间,是V的一组基,那么对V的任意n个向量有且仅有一个线性变换 σ 使
得。
3.设,令V表示A的全体实系数多项式矩阵关于通常加法与数乘运算构成的线性空间;证明:dim(V)=3.
四、计算题(15×2=30)
景秀中学1.设,求出一个正交矩阵U,使得是对角矩阵。
2.化二次型为标准形,并求相应的变换矩阵。
五、以下四个证明题中任选两个作答。(每题5分共10分)
1.设V是复数域P上的n维线性空间,是V的一组基,那么实数域R上的线性空间V,有。
2.设V是数域P上的线性空间,是V的一个线性变换,证明:1)若是的两个不同特征根,是分别属于的特征向量,则不是的特征向
量;2)若是线性变换,如果V中的每一个向量都是它的特征向
量,则为数乘变换。
3.若在线性空间定义中去掉算律(1)而把算律(2)改成都有而其于算律保持不变,则V对原来的如法和数乘运算也构成一个线性伦理短篇小说
空间。
4.设是n维欧氏空间V上的一个线性变换,称为广义正交变换,如果存在一个正数k,使得,证明:是广义正交变换当且仅当在任一标
准正交基下的矩阵A,满足。