一、教学目的与要求
通过本章的学习，使学生了解可数性公理的性质及它们之间的关系；要求学生掌握的概念有：A2空间、A1空间、可遗传性质、 可分空间、复盖、Lindelöff空间。要求学生掌握以下性质：A2空间满足A1、度量空间满足A1、连续开映射保持A2（A1）、满足A2（A1）是可遗传性质和（有限）可积性质、可分空间的判别方法、Lindelöff空间的性质和判定方法。 二、教学重点与难点
教学重点：A2和A1空间、可分空间、Lindeloff空间。
教学难点：Lindeloff空间的性质和判定方法。
三、课时安排与教学方法
教学内容 （计划／实际）课时数课程类型／教学方
法
5.1第一与第二可数性公理 4／4 理论/讲授
精彩极了和糟糕透了教学设计5.2可分空间 2/2 理论/讲授
5.3 Lindelöff空间 2／2 理论/讲授
四、教学过程
§5.1 第一与第二可数性公理
从§2.6节的讨论可知，基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证映射的连续性都有着重要的意义，它们的元素的“个数”越少，讨论起来越是方便．因此我们试图对拓扑空间的基或邻域基的元素“个数”加以限制，但又希望加了限制的拓扑空间仍能包容绝大多数常见的拓扑空间，如：欧氏空间、度量空间等．以下的讨论表明，将基或邻域基的元素的“个数”限定为可数是恰当的．
某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基，如果是一个可数族，我们则分别称之为一个可数基和一个可数邻域基．
定义5.1.1一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可
数性公理的空间，或简称为空间．
2
A
定理5.1.1实数空间R满足第二可数性公理
注：由于离散空间中的每一个单点子集都是开集，而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并，因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集．所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间．
定义5.1.2一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空
A
高浓除砂器间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为空间．
1
定理5.1.2每一个度量空间都满足第一可数性公理．
例5.1.1设X是包含着不可数多个点的可数补空间．则X不满足第一可数性公理． 定理5.1.3每一个满足刘易斯模型
第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理．
注：定理5.1.3的逆命题不成立．因为任何一个离散空间显然满足第一可数性公理，而前面已经说过包含着不可数多个点的离散空间不满足第二可数性公理． 定理5.1.4设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个满的连续开映射．如果X满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则Y也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．注：拓扑空间满足第一可数性公理和满足第二可数性公理的性质都是拓扑不变性质． 拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质．
注：离散性，平庸性都是可遗传的性质，但连通性却明显是不可遗传的．
护士条例解读
拓扑空间的某种性质称为对于开子空间（或闭子空间）可遗传的性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个开子空间（闭于空间）也都具有这个性质． 注：局部连通性虽然不是可遗传的性质，但对于开子空间却是可遗传的．（参见§4.4习题第3题）
定理5.1.5满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间．
定义5.2.2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间．
定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．
注：包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间．
推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间．
特别地，n 维欧氏空间n
R 中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间．
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例5.2.1 设(X ，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X 的元素（例
如我们可以取∞=X ）．令X *=X ∪{∞}和T*={A∪{∞}|A ∈T}∪{φ}．容
易验证（请读者自己证明）（X *,T*）是一个拓扑空间．
我们依次给出以下三个论断：ousia
（1）（X *，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X *，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X *，T*）中的一个稠密子集．
（2）（X *，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X ，T）满足第二可数性公理．
（3）（X ，T）是（X *，T*）的一个子空间．因为 T T |X ∗=.
根据这三个论断，我们可有以下两个结论：
（A）可分空间可以不满足第二可数性公理．因为如果任意选取一个不满足第二可数性公理的空间（X ，T），我们便能得到一个不满足第二可数性公理的可分空间（X *，T *）．
（B）可分空间的子空间可以不是可分空间．因为如果选取（X ，T）为一个不是可分的空间，我们便能得到一个可分空间（X *，T *）以(X ，T)为它的一个子空间．
定理5.2.4 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理．
推论5.2.5 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间．
作业：P151 1，3, 4
§5.3 LindelÖff空间
定义5.3.1 设A是一个集族，B 是一个集合．如果
A A A
B ∈⊃∪则称集族A是集合B 的一个
覆盖，并且当A是可数族或有限族时，分别称集族A是集合B 的一个可数覆盖或有限覆盖．
设集族A是集合B 的一个覆盖．如果集族A的一个子族1 A 也是集合B 的覆盖，则称集族1 A 是覆盖A（关于集合B ）的一个子覆盖．
设X 是一个拓扑空间．如果由X 中开（闭）子集构成的集族A是X 的子集B 的一个覆盖，则称集族A是集合B 的一个开（闭）覆盖．
定义5.3.2 设X 是一个拓扑空间．如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel Öff空间．
注：包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindel Öff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．
定理5.3.1[Lindel Öff定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindel Öff空间．
推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindel Öff空间．特别地，n 维欧氏空间n
R 的每一个子空间都是Lindel Öff空间．
例5.3.1 定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题都不成立．
考虑包含着不可数多个点的可数补空间X ．例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．
以下证明它是一个Lindel Öff空间．设A是它的一个开覆盖．任意在A中取定一个非空集合A ．对于每一个x A ′∈，在A中选取一个x A 使得x x A ∈，由于A ′是一个可数集，所以A的子族{|也是可数的，易见它也覆盖X ．因此，包含着不可数多个点的可数补}{}x A x A A ′∈∪空间是定理5.3.1的逆命题不成立的例子．
也不难证明X 的每一个子空间都是Lindel Öff空间．（请读者自补证明）因此，包含着不可数多个点的可数补空间也是推论5.3.2的逆命题不成立的例子．
定理5.3.3 每一个LindelÖff的度量空间都满足第二可数性公理．
例5.3.2 Lindel Öff 空间的子空间可以不是LindelÖff空间的例子．
设X 是一个不可数集，z ∈X ．令1{}X X z =−，
1(){()|,T P P X U
X z U U ′=∪∈∈是一个可数集}
容易验证T是X 的一个拓扑．
拓扑空间（X ，T)是一个Lindel Öff空间．因为如果A是X 的一个开覆盖，则存在A
∈A使得z
∈A ．于是A ′是一个可数集．对于每一个x A ′∈，选取A
x A ∈使得x x A ∈．易见{}{|}x A A x A ′∪∈是A的一个可数子覆盖．
另外，容易验证T|11() X P X =．这也就是说1X 作为X 的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以1X 不是一个LindelÖff 空间．
定理5.3.4 LindelÖff空间的每一个闭子空间都是LindelÖff空间．
定理5.3.5 设拓扑空间X 的任何一个子空间都是LindelÖff空间．如果A X ⊂是一个不可数集，则A 中必定包含A 的某一个凝聚点，即()A d A φ∩≠.．
特别地，如果X 是一个满足第二可数性公理的空间，则X 的每一个不可数子集A 中都包含着A 的某一个凝聚点．
本章中讨论过的各类拓扑空间之间的关系图表
度量 度量
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