对立与统一第五章 二次型
1. 基本概念
二次型；二次型的矩阵和秩；非退化线性替换；矩阵的合同. 2. 基本结论
(1) 非退化线性替换把二次型变为二次型.
(2) 二次型AX X x x x f n ′=),,,(21 可经非退化的线性替换CY X =化为二次型AY Y y y y f n ′=′),,,(21 ⇔AC C B ′=.
(3) 矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性.
二、标准形
1. 基本概念
二次型的标准形；配方法；初等行列变换法 ；正交变换法
2. 基本定理
(1) 数域P 上任意一个二次型),,,(21n x x x f 都可经过非退化的线性替换
CY X =化为标准形式222
2211n n y d y d y d +++ . (2) 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
三、唯一性
1. 基本概念
复二次型的规范形；实二次型的规范形，正惯性指数、负惯性指数、符号差.
2. 基本定理
(1) 任一复二次型),,,(21n x x x f 都可经过非退化的线性替换CY X =化为唯
一的规范形式f r z z z r =+++,22221 的秩.
爱在钢琴上因而有：两个复对称矩阵合同⇔它们的秩相等.
(2) 惯性定律：任一实二次型),,,(21n x x x f 都可经过非退化线性替换CY X =化为唯一的规范形式
f r z z z z r p p =−−−+++,221221 的秩,p 为),,,(21n x x x f 的惯性指数.
因而两个n 元实二次型可经过非退化线性替换互化⇔它们分别有相同的秩和惯性指数.
(4) 实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
四、正定二次型
1. 基本概念
正定二次型，正定矩阵；顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定二次型，不定二次型.
2. 基本结论
(1) 非退化线性替换保持实二次型的正定性不变.
(2) 实二次型AX X x x x f n ′=),,,(21 正定⇔
① A 与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵P ，使得P P A ′=;
② A 的顺序主子式都大于零.
③ ),,,(21n x x x f 的正惯性指数等于n .
④ A 的所有特征值都大于零.
⑤ A 半正定且0A >.
线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.
一、线性空间
1. 线性空间的概念
2. 线性间的性质
(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；
(2) αα−=−)1(;0,00==⇔=ααor k k .
波纹板二、基、维数和坐标
1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标；过渡矩阵.
2．基本结论
(1)线性相关性的有关结论.
(2)在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都作成V 的一个基； 任意)(n m m <；个线性无关的向量都可扩充为V 的一个基；
任意)(n s s >个向量都是线性相关的.
(3)若在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ，且V 中任意向量
都可由它线性表示，则V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一个基.
(4)设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维线性空间V 的两个基，A 是由
基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y 分别是向量α在这两个基下的坐标，则A 是可逆的，且
= n n y y y A x x x 2121 三、线性子空间及其形成
1．基本概念：子空间；生成子空间；解空间；子空间的和与直和.
2．基本结论：
(1) 线性空间V 的非空子集合W 作成V 的子空间⇔W 对于V 的两种运算封闭.
(2) 线性空间V 的两个子空间的交与和仍为子空间.
(3)(维数公式) 若21,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，则
)dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V ++=+
南市区信息在线(4)),,,(),,,(dim 2121n n rank L αααααα =.
),,,(),,,(2121n m L L βββααα = ⇔
向量组{m ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }等价.
(5) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则存在一个子空间W ，使得W U V ⊕=，此时称W 为U 的一个余子空间.
(6) 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，下面这些条件等价：
① ∑=i V W 是直和；
② 零向量的表示法唯一；
③ {});,,2,1(,
0t i V V i j j i ==∑≠
④ ∑=i V W dim dim .
四、线性空间的同构
1.同构的定义
2. 同构映射的基本性质：
(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；明光电教网
(2) 同构映射把子空间映成子空间；
(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；
(4) 数域P 上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数，因而，每一个数域P 上的n 维线性空间都与n 元数组所成的线性空间n P 同构.
第七章 线性变换
线性变换是线性代数的中心内容之一，它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内存联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广，它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科，都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示，在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换.
一、线性变换及其运算
1. 基本概念：线性变换，可逆线性变换与逆变换；线性变换的和与差，乘积和数量乘法，幂和多项式；线性变换的值域Im V = 与核1{}o Ker −= ，秩与零度.
2. 基本结论
(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组
(2) 线性变换的和、差、积、数乘和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.
(3) 线性变换的基本运算规律(略).
(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.
(5) 线性空间V 的线性变换 的值域与核是V 的子空间. 且V 由V 的一组基的像生成.
若dim V n =，则 的秩+A 的零度=n ,
且 是双射⇔ 是单射⇔1{}{}
o o −= ⇔ 是满射射⇔V V = . 二、线性变换与矩阵荣乌高速车祸
1.基本概念：线性变换在基下的矩阵；相似矩阵.
2.基本结论
(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ，则存在唯一 )(V L ∈，使得 n i i i ,,2,1,)( ==βα.
(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后，将V 的每一线性变换与它在这个
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