1
井冈山大学2007—2008第二学期
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．设 A
是数域 P 上的 n
废都性描写
级方阵，1
2A ，则A .
2. 若二次型 222123123
12
23(,,)2422f x x x x x x x x tx x 正定，则 t 的取值范围
是 . 3. 若 {(,)|,,,}V
a bi c di a
b c
d . 则 V 对于通常的加法与数乘，在复数域
上是 维，而在实数域 是 维的.
4. 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 .
5. 设 A 是 n 级幂等阵，且秩为 r ，则2E
A
.
二、判断题（每小题1分，共10 分）（对的打“√”，错的打“×”）
1. 设 ,A B 是两个对称矩阵，则,A B 在复数域 上合同当且仅当 ,A B 等价. ( )
2. 如果数域 P
P ，那么 P 必构成 P 上的线性空间. ( ) 3. 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，
1
2
,
,
,
n 是 V 中的一组向量，则
1
2
qq大杂烩,
,,
n
是 V 的一组基当且仅当 12
,
(,,
)n
V
L . ( )
4. 设 A 是一个实矩阵，则T
稀土作为战略资源的特殊价值
A A 是半正定矩阵 .
( ) 5. 若 12,V V 是 V
的子空间，则 1212,V V V V 也是 V 的子空间. ( )
6. 若
1
2
,
,,
n
是 n 级矩阵 A 的 n 个特征根，则 A 为可逆矩阵当且仅当它
2
们的特征值全不为 0. ( ) 7. 把复数域看作复数域上的线性空间，则变换 Tx
x 是线性变换.（x 是 x 的共轭
复数） ( ) 8. 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必要条件是它是满射. ( ) 9. 在欧氏空间中，正交变换的乘积仍是正交变换. ( ) 10. 在欧氏空间中，保持内积不变的变换一定是正交变换. ( )嘉兴电大
三、计算题（每题12分，共48 分）
1. 已知矩阵 A 的伴随矩阵100
110111
A
家庭影院技术，而且1
A E 可逆，如果矩阵 X 满足
120A XA XA E ，求 X .
2. 用非退化的线性替换化二次型
2213
3121323
(,,)4322f x x x x x x x x x x 为标准形，并求相应的线性替换与符号差.
3．设U和W分别是4的由2
13
(1,1,0,1),(1,2,3,0),(2,3,3,1)
与
123
(1,2,2,2),(2,3,2,3),(1,3,4,3)生成的子空间，求U W及U W的基与维数.
4．设
4100
130
361 A.
(1) 求A的特征值与特征向量；
(2) 求100
A.
3
4 四、证明题（27 分）
1．（15 分）设 V 是 n 维线性空间， 是 V 的一个线性变换且满足2
，证明：
(1)
的特征值只能是 1 和 0 ；
(2) 若用 1V 与 0V 分别表示对应于特征值 1 和 0 的特征子空间，则 1
V V ，
1
(0)V ；
(3) 1
10
(0)V V V V
钻石机
；
(4) 只有特征值 0 的充分必要条件是
为零变换.
2. (12 分) 设 V 是一 n 维欧氏空间，0 是 V 中一固定向量. 证明：
(1) 1
{|(,)0,}V x x x V 是 V 的一子空间；
(2) 1V 的维数等于 1n .
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