凸函数有很好的极值性质，这使其在⾮线性规划中占有重要的地位。凹函数与凸函数相似，凸函数具有全局极⼩值，凹函数具有全局极⼤值。 因为两者很⽅便进⾏转换，我们以凸函数为例作介绍。
1. 凸函数的定义
凸集：
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给定集合以及其中的任意两个元素 和，即 且 ，若对任意实数，恒有，则称为凸集。 凸函数:
设 为定义在n维欧⽒空间 中某个凸集 上的函数，若对任意实数以及 中的任意两点和，恒有
则称为定义在凸集上的凸函数。
若对任意实数以及 中的任意两点和，恒有
则称为定义在凸集上的严格凸函数。
线性函数既是凸函数⼜是凹函数，但都不是严格凸函数和严格凹函数。
2. 凸函数的性质
性质1: 设为定义在凸集上的凸函数，则对任意实数 ，函数 也是定义在凸集上的凸函数。电容柜
性质2: 设 和 都是定义在凸集上的凸函数，则函数也是定义在凸集上的凸函数。
性质3: 设为定义在凸集上的凸函数，则对任意实数，集合是凸集。
性质4: 设为定义在凸集上的凸函数，则的任⼀个极⼩点就是它在上的全局极⼩点，⽽且所有极⼩点的集合是凸集。男生女生金版投稿
3. 凸函数的判别新干县幼儿园
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判断⼀个函数是否为凸函数，最基本的⽅法是使⽤其定义。但对可微函数，下⾯介绍的两个判定定理可能更为有效。⼀阶判定条件: 设在凸集上具有⼀阶连续偏导数，则为上凸函数的充分必要条件是，对中任意两点 和，恒有⼆阶判定条件: 设在开凸集上具有⼆阶连续偏导数，则为上凸函数的充分必要条件是，的海
赛矩阵在上处处半正定。x (1)x (2)x ∈(1)S x ∈(2)S λ(0<λ<1)λx +(1)(1−λ)x ∈(2)S S f (x )R n S λ(0<λ<1)S x (1)x (2)f (λx +(1)(1−λ)x )≤(2)λf (x )+(1)(1−λ)f (x )
(2)f (x )S λ(0<λ<1)S x (1)x (2)f (λx +(1)(1−λ)x )<(2)λf (x )+(1)(1−λ)f (x )温岭注浆泵
(2)f (x )S f (x )S β>0βf (x )S f (x )1f (x )2S f (x )+1f (x )2S f (x )S βS =β{x ∣x ∈S ,f (x )≤β}f (x )S f (x )S f (x )S f (x )S S x (1)x (2)f (x )≥(2)f (x )+(1)∇f (x )(x −(1)T (2)x )
(1)f (x )S f (x )S f (x )∇f (x )2S
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