例1 （1杭州科技信息网）设是线性变换A的两个不同特征值，是分别属于的特征向量，试证明激光点云数据处理不是A的特征向量。[提示：若是的特征向量，则，矛盾]（2）如果线性空间的线性变换A以中每个非零向量为其特征向量，则线性变换A是数乘变换[提示：若线性变换A有两个不同特征值，而是分别属于的特征向量，由题设，也是A的特征向量，由此推出，因此线性变换A只有一个特征值，对于任意非零向量，A]. 例2 设线性变换A在基下的矩阵是
,
求A的特征值与特征向量.
例3 设矩阵为
,
(1)问能否相似于对角阵？（2）若能，求一个可逆矩阵，使得为对角阵.
例4 在空间中，线性变换
D
在基下的矩阵是
的特征多项式是
.
因此，的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.
定理 设为n阶矩阵的特征值，则
（1）
（2）
定理 （1）矩阵A与A中国少年儿童队改名为中国少年先锋队时间的转置有相同的特征值。
（2）设是矩阵A的特征值，则
的特征值（其中m是正整数）。
（3）是的特征值。
（4）若矩阵A可逆，是矩阵A的特征值，则是矩阵的特征值
例12 已知1，2，3是3阶矩阵A的特征值，计算行列式及。
定理 设A是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下A的矩阵是，则
A=
2） A的秩=的秩.
定理 设A是维线性空间的线性变换，则A的一组基的原像及A的一组基合起来就是的一组基.由此还有
A的秩+A的零度=
例6. 设是数域上四维线性空间的一个基，已知线性变换在此基下的矩阵为
，求的值域与核及值域与核的维数。
ipda
解：由核的定义，得方程组
st托普 我是中国dota的希望2
解之得
核，核的维数是2
又
的秩为，且线性无关.
值域的维数也是2.
注意1：值域的维数就是矩阵A的秩r,而核的维数就是n-r.
注意2：虽然子空间A与A的维数之和为，但是A+A并不一定是整个空间.（见下面例子）
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