一、正交变换
定义1.1 设A是欧氏空间V的一个线性变换，若A保持向量的内积不变，即对于任意的α，βεV都有(Aɑ，Aβ) = (ɑv，β)，则称A为V的正交变换.苏丹问题>一域多层四四制
二、等价条件
定理2.1 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换，则下列命题等价:
1)A是正交变换；
2)A保持向量的长度不变，即对于
V，|Aα|=|ɑ|；
规范正交基；
4)A在规范正交基下的矩阵是正
交矩阵.
⇒2）对于αεV, 由证：1）
(Aɑ，Aɑ)=(ɑ，ɑ),
即得：|Aɑ|=|ɑ|
2）⇒3）设ε1，ε2，…，εn是
V的任一规范正交基，记εi+εj=ɑεV.
由|Aɑ|=|ɑ|或(Aɑ，Aɑ)=(ɑ,ɑ)得
(A(εi+εj)，A(εi+εj))=(εi+εj，εi+εj）
而(A(εi+εj)，A(εi+εj))
医学新知
灵敏度特异度=(Aεi，Aεi)+2(Aεi，Aεj)+(Aεj，Aεj)
=(εi ，εi)+2(εi ，εj)+(εj ，εj)
(εi+εj,εi+εj ）=(εi ，εi)+2(εi ，εj)+(εj ，εj)
普朗克常量故 A ε1，A ε2，…，A εn 是V 的一组规范正交基. 3)⇒4）设ε1，ε2，…，εn 是V 的规范正交基,
A(ε1，ε2，…，εn)=(A ε1， A ε2，…，A εn)
= (ε1，ε2，…，εn)A
由3), A ε1，A ε2，…，A εn 是0,(,)(,)1,i j i j i j A A i j εεεε≠⎧∴==⎨=⎩
V的规范正交基，故A可看作是由规范正交基ε1，ε2，…，εn到规范
正交基Aε1，Aε2，…，Aεn的过
渡矩阵,A是正交矩阵.
4) 1）设ε1，ε2，…，εn是V 的规范正交基，且A在此基下的矩阵
A为正交矩阵.
由(Aε1，Aε2，…，Aεn)= (ε1，ε2，…，εn)A，知Aε1，Aε2，…，Aεn也是V的规范正交基,
设α=x1ε1+x2ε2+……x nεn,
Β=y1ε1+y2ε2+……y nεn,
Aɑ=x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn
Aβ=y1Aε1+y2Aε2+…+ynAεn (Aα,Aβ)= x1y1+x2y2+…+xnyn
(α,β)= x1y1+x2y2+…+xnyn
桂皮酸所以 (A α，A β)=(α，β)，故A 为正交变换.
三、规范正交基到规范正交基的过渡矩阵。 设{n ααα,,,21 }是n 维欧氏空间的两个规范正交基，),,,(),,,(2121n n αααβββ =U （U=（ij
U ）） 则1211111
11
11(,,)1,,0,,,1(,1,2,,)0i n i i n ki k k ni n i j n n
i j ki k kj k k k n n ki
lj k i n ki kj k n ki kj
k T U U U U i j
i j U U U U k l U U i j U U i j n i j
U U I
βαααββββββαααα=======⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
=⎧<>=⎨
≠⎩<>=<>
=<>==⎧==⎨≠⎩=∑∑∑∑∑∑∑是标准正交基，有又从而
定义7.3.1 设U 是实数域上的n 阶矩阵, 如果T T U
U UU I ==
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