§ 5.1 第一与第二可数性公理
本节重点：
掌握满足第一与第二可数性公理的空间的定义及相互间的关系； 掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、 有限可积性、可遗传性
等问题；
掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质；
掌握常见的空间哪些空间是第一可数性公理空间 ，哪些是第二可数性公理空间.
从§ 2.6节的讨论可知，基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证映射的连续性都有 着重要的意义，它们的元素的“个数”越少，讨论起来越是方便.因此我们试图对拓扑空间 的基或邻域基的元素“个数”加以限制， 但又希望加了限制的拓扑空间仍能包容绝大多数常
见的拓扑空间，如：欧氏空间、度量空间等.以下的讨论表明，将基或邻域基的元素的“个 数”限定为可数是恰当的.
某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基， 如果是一个可数族， 我们则分别称之
为一个可数基和一个可数邻域基.
电信设备进网管理定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基， 则称这个拓扑空间是一个满足第二可数
性公理的空间，或简称为 V空间.
定理5.1.1 实数空间R满足第二可数性公理
证明 令B为所有以有理数为它的两个端点的开区间构成的族•显然 B是一个可数族.
p £
设U是R中的一个开集，对于每一个x€ U,存在实数 ・>0,使得以x为中心以•为半 径的球形邻域
B (x, ) =(x- ■ ,x+ ) _ U
选取有理数使得"-：1■人-■- 'L I
于是我们有 •这也就是说 U可以表示为B中某些成
员之并•这证明了 B是R的一个基.
R有可数基B,所以R满足第二可数性公理.
由于离散空间中的每一个单点子集都是开集， 而一个单点集不能表为异于自身的非空集
合的并，因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集. 所以包含着不可数多个点
的离散空间是不满足第二可数性公理的空间.
定义5.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基， 则称这个拓扑空间
是一个满足第一可数性公理的空间或简称为 :空间.
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定理5.1.2 每一个度量空间都满足第一可数性公理.
证明 设X是一个度量空间，x€X则所有以x为中心以有理数为半径的球形邻域构成 x
处的一个可数邻域基.
例5.1.1 不满足第一可数性公理的空间的例子.
设X是包含着不可数多个点的可数补空间. 我们证明电影2012世界末日国语版X在它的任一点处都没有可数邻域
基•因此X不满足第一可数性公理.
用反证法来证明这一点.设X在点x€X处有一个可数邻域基 则对于任何y€ X,y丰x,
■匚八""…八\ 一,,因此.一'：，将这个包含关系式的两边分别
对于X中所有的异于x的点求并，可见 小1-」..：汀T
由于X是一个不可数集，因此上式的左边是一个不可数集； 由于“中只有可数个元素，
并且每一个元素的补集都是可数集，因此上式的右边是一个可数集.矛盾.
定理5.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理.
证明设X是一个满足第二可数性公理的空间， 二苯甲烷二异氰酸酯B是它的一个可数基.对于每一个x€ X,
根据定理2.6.7 ,
D
E ={B € Bx € B}
是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族. 于是X在点x处有可数邻域
基B.
定理5.1.3的逆命题不成立.因为任何一个离散空间显然满足第一可数性公理， 而前面
已经说过包含着不可数多个点的离散空间不满足第二可数性公理.
定理5.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X -Y是一个满的连续开映射. 如果X满
足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则 Y也满足第二可数性公理（满足第一可
数性公理）.（这是关于连续映射下是否保持的性质 ）
证明 设X满足第二可数性公理，，一是它的一个可数基•由于 f是一个开映射， J
={f（B）|B € ■ _}是由Y中开集构成的一个可数族.只需证明 J是Y的一个基.设U是Y中
的一个开集，则」'（U）是X中的一个开集.因此存在
由于f是一个满射，我们有
卩叮（厂©））〜却疋）
馒头国家标准
即U是 '中某些元素的并.这完成 '是Y的一个基的证明.韩闻放
本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证.
根据定理5.1.4可见，拓扑空间满足第一可数性公理和满足第二可数性公理的性质都是 拓扑不变性质.
拓扑空间的某种性质称为可遗传性质， 如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一
个子空间也都具有这个性质.
例如离散性，平庸性都是可遗传的性质，但连通性却明显是不可遗传的.
拓扑空间的某种性质称为对于开子空间 （或闭子空间）可遗传的性质，如果一个拓扑空
间具有这个性质那么它的任何一个开子空间（闭于空间）也都具有这个性质.
例如，局部连通性虽然不是可遗传的性质， 但对于开子空间却是可遗传的. （参见§ 4.4
习题第3题）将来我们会接触到一些对闭子空间可遗传的性质.
紧接着的两个定理表明拓扑空间满足第一 （或第二）可数性公理的性质是可遗传的， 也
是有限可积的.
定理5.1.5 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空
间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间.
证明 设X是一个满足第二可数性公理的空间， B是它的一个可数基.如果 Y是X的一
个子集，根据定理 3.1.7，集族- I ={BA Y|B€ B}是子空间丫的一个基，它明显是可数族.
本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证.
定理5.1.6 设■--J是n个满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）
的空间•则积空间 -< -―：满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）.
证明 我们只要证明n = 2的情形.
设 都是满足第二可数性公理的空间， 月1，^2分别是它们的可数基•根据定理
3. 2 • 4,集族
是积空间 的一个基，它明显是一个可数族.
本定理当n=2时关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证.
根据定理5.1.1 ，定理5.1.5和定理5.1.6，我们立即可知：（事实上，这个推论也容 易直接证明（参见习题 1）.）
推论5.1.7 n维欧氏空间'、的每一个子空间都满足第二可数性公理.
本节的余下部分我们讨论满足第一可数性公理的空间中序列的性质. 读者将会看到在这
种拓扑空间中序列的性质与我们在数学分析中见到过的有着较多的类似之处，特别是定理 2.7.2和定理2.7.3的逆命题对于这类拓扑空间成立.
定理5.1.8 设X是一个拓扑空间•如果在 x€X处有一个可数邻域基，则在点 x
处有一个可数邻域基 八-■-使得对于任何i €「有- L :.,即
比吗 D--DU- D--
V 7
证明 设｛ :｝是点x €X处的一个可数邻域基•对于每一个 i € ； •,令
4谒码小诩
(即 是个邻域基套，一个套一个的•这个定理常用来选取趋向于 x的序列中的
点.)
定理5.1.9 设X是一个满足第一可数性公理的空间， A_X.则点x€X是集合A
的一个凝聚点的充分必要条件是在集合 A— ｛x｝中有一个序列收敛于 x .
证明 定理的充分性部分的证明已见于第二章定理 2.7.2，以下完成必要性部分的证
明.
数邻域基套，满足条件：对于每一个，i € ：，, J --:一，由于--'1亠」，可
选取:- .序列｛舟｝是在A一｛x｝中的.我们证明lim *i=x(x“)如下：
如果U是x的一个邻域，则由于 | -■- > :.是x处的一个邻域基套，所以存在 N>0使得 |
| |
.于是当i时，我们有
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