§3.1 向量组及其线性组合 §asp 2.0
3.2 向量组的线性相关性 教学目的和要求： 通过对向量组线性相关与线性无关的概念的理解和线性相关性判定，逐步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力. 1、理解n维向量的概念，掌握n维向量的线性运算，了解向量组及向量组等价的概念.
3、掌握单个向量或一向量组可由另一向量组线性表示充要条件及性质.
4、理解向量组线性相关与线性无关的概念，了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法.
教学重点：n维向量、向量组的线性组合与线性表示的概念及单个向量或一向量组可由另一向量组线性表示充要条件与性质，以及向量组线性相关与线性无关的概念．
教学难点：向量组的线性相关性中相关定理的证明及应用．
教学方法与手段：借助于已知的2、3维向利向量理解n维向量，若向量可由经线性运算所得，就说向量是的线性组合，或说叠氮钠可由线性表示。单个向量或一向量组能否由另一向量组线性表示归结为线性方程组或矩阵方程是否有解，籍助于矩阵的秩可解决.向量组线性相关与线性无关的概念可从以下几个方面理解，1、从几何意义：含两个向量的向量组线性相关的充要条件是两个向量共线．含三个向量的向量组线性相关的充要条件是三个向量共面．2、从线性相关与线性表示的关系：含至少两个向量的向量组线性相关的充要条件是其中必有一个向量可由其余的向量线性表示．3、从线性方程组：向量组A：线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解．传统教学，教练结合．
课时安排：2课时
教学过程
§1 向量组及其线性组合
定义1 个数构成的有序数组, 记作,称为维行向量．
–– 称为向量的第个分量； –– 称为实向量（下面主要讨论实向量）
–– 称为复向量；
零向量：； 负向量：
列向量：个数构成的有序数组, 记作, 或者, 称为维列向量．
2．线性运算：,
相等：若, 称．
加法：
数乘：
减法：
3．算律：, ,
(1) (5)
(2) (6)
(3) (7) 改变一生的闪念
(4) (8)
定义2线性组合：对维向量及, 若有数组使得 , 称为的线性组合,或可由线性表示．
例1 , , , 判断可否由线性表示?
解 设，比较两端的对应分量可得
, 求得一组解为
于是有, 即可由线性表示．
[注] 取另一组解时, 有．八大山人传
定理1 向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩.
定义3 设有两个向量组及, 若组中每个向量都能由向量组线性表示, 则称向量组能由向量组线性表示.若向量组与向量组能互相线性表示, 则称这两个向量组等价.
定理2 向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩, 。
推论 向量组与向量组等价的充分必要条件是, 其中和是向量组和所构成的矩阵.
定理3 设向量组能由向量组线性表示, 则
§2 向量组的线性相关性
定义4线性相关： 对维向量组, 若有数组不全为0, 使得
称向量组线性相关, 否则称为线性无关．
婚姻挤压 线性无关：对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有
称向量组线性无关, 否则称为线性相关．
[注] 对于单个向量：若, 则线性相关；
若, 三个儿子教学设计则线性无关．
对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关.
例2 判断例1中向量组的线性相关性．
解 设, 比较两端的对应分量可得
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