.1.设A 是一个n 级正定矩阵, 而α=(a 1,a 2,…,a n ), β=(b 1,b 2,…,b n ), 在R n 中定义内积: ,),(T A βαβα=
(1) 证明在这个定义之下, R n 成一欧氏空间. (2) 求单位向量),...,,(n 21εεε的度量矩阵. (3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式.
(1) 证明: 因为A 正定, 所以对任意的α=(a 1,a 2,…,a n ), β=(b 1,b 2,…,b n )∈R n , k ∈R. (i) .00),(,0),(=⇔==≥=αααααααααT T A A 且
(ii) ),()(),(T αβαββαβαβα====T T T A A A . (iii) ),(()(),(βαβαβαβαk A k A k k T T ===.
(iv) ).,(),()(),(βγβαβγβαβγαβγα+=+=+=+T T T A A A 所以在这个定义之下, R n 成一欧氏空间.
(2) 因为,),(ij T j i j i a A ==εεεε 所以单位向量),...,,(n 21εεε的度量矩阵是A. (3) 由|(α,β)|≤|α| |β|, 得
∑∑∑∑∑∑======≤
==n i n
j j i ij n i n
j j
i ij j n i n
j i ij T
b b a a a a b a a A 11
11
11
|||||),(|β
αβα.
2. 在R 4中求α,β之间的夹角<α,β>(内积按通常的定义), 设 (1) α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1); (2) α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1); (3) α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0). 解: (1) (α,β)=0， 所以<α,β>=
.2
π
(2)
|||6,(,)18
(,)(,)arc cos cos ||||24arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====
十病九痛
(3)
||||(,)3商业综合体策划
,arc 700'30''38
αβαβαβ===∴==︒〈〉 3. d(α,β)=|α-β|通常的α与β的距离, 证明d(α,γ)≤d(α,β)+d(β,γ) .
证明: ||||||αβαβ+≤+ ,
(,)|||()()||||(,)(,)
d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =
4. 在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交 解: 设所求单位向量为: 2
1234
1234
1234
1234
4 123
(,,,)1,
230
1011
11111111
1111020001003,
211301310031
4,0,1
4
i
x x x x x
x
x x x x
x x x x
失而复得的圣诞礼物x x x x
x x x x
α
α
==
+-+=
⎧⎫
⎪⎪
--+=
⎨⎬
⎪⎪
+++=⎭
⎩
⎛⎫
-
⎛⎫⎛⎫
--
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
--→-→=
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
+ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
===-
=-
∑
则且
与各向量的内积为0得
令得
,0,1,3),()
-单位化
5．设
n
α
α
α,...,
,
2
1
是欧氏空间V的一组基, 证明
(1) 如果.0
,
,...,
2,1
0,
)
,
(
i
=
=
=
∈γ
α
γ
γ那么
使得n
i
V
(2) 如果.
,
,...,
2,1
),
,
(
)
,
(
,
2
1
2
1
2
1
γ
γ
α
γ
α
γ
γ
γ=
=
=
∈那么
使得n
i
V
i
i
证(1) ：因为
12
(,)0, 1.2,,
i n
i n
γαααα
==
而是一个基, 所以对于V中向量γ, 设
n
n
k
k
kα
α
α
γ+
+
+
=
2
2
1
1
,
11
(,)(,)(,)0.
0.
n n
i i i i
i i
k k
γγγαγα
γ
==
∴===
=
∑∑
因此，必有
(2) 证，
12
(,)(,), 1.2,
i i
i n
γαγα
==
12
(,)0, 1.2
i
i n
γγα
∴-==
由第(1)小题：
1212
0,
γγγγ
-==
故
6.设
3
2
1
,
,ε
ε
)
-
2
(2
3
1转铁蛋白
3
2
1
1
ε
ε
ε
α+
=, )
2
-
(2
3
1
3
2
1
2
ε
ε
ε
α+
=, )
2
轻武器传奇
2
(-
3
1
3
2
1
3
ε
ε
ε
α+
+
=
也是一组标准正交基.
解: 123123
221
1
(,,)(,,)212
3
122
αααεεε
⎛⎫
⎪
=--
⎪
⎪联想i968
--
⎝⎭
而1232211212,,3122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭
是正交矩阵，所以是标准正交基. 7. 设54321,,,,εεεεε是五维欧氏空间中一组标准正交基, ),,,(3211αααL V = 其中
4212511,εεεαεεα+-=+=,42132εεεα++=, 求V 1的一组标准正交基.
解: 令;5111εεαβ+==
;2
1
2121),(),(5421121111222εεεεβαββββααβ-+-=-=-=
.10
1
22),(),(),(),(5321213222231111333εεεεββαββββαββββααβ-++=--=--
=
再标准化为:
);(2
1
511εεγ+=
)
;22(10
1
54212εεεεγ-+-=
).(2
153213εεεεγ-++=
8. 求齐次线性方程组
⎩⎨⎧=+-+=-+-+00
32532154321x x x x x x x x x
的解空间(作为R 5的子空间)的一组标准正交基.
解: ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=51110410011011131112A .
R(A)=2, 所以基础解系为
解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由Schmidt 正交化过程::
1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
单位化后得到解空间的标准正交基：
1230766130500εεε⎛⎛⎫ ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭
9. 在R [x ]4中定义内积为1
1
(,)()()f g f x g x dx -=⎰, 求R [x ]4的一组标准正交基(由
基1，x , x 2, x 3
出发正交化)
解: 23
12341,,,x x x αααα====.
111βα==
211
22111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*
2(,)(,)1
310(,)(,)23
2
(,)(,)(,)3
502(,)(,)(,)53
2(,)2||(,)||3(xdx x x
x x x x x
αββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ-
-=-=-=--=---=-
=---=--=-====
⎰
又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dx x x x dx ββββββ+--=-+===-+==⎰⎰
标准正交基为
2
1
1=γ, x 262=
γ, )13(41023-=x γ, )35(41434x x -=γ.
10. 设V 是一n 维欧氏空间,α≠0是V 中一固定向量, (1) 证明: V 1={x |(x ,α)=0, x ∈V }是V 的一个子空间. (2) 证明V 1的维数是n -1.
证明: (1) 0∈V 1非空. ∀ β,γ∈ V 1, k ∈R,
(β+γ,α)= (β,α) +(γ,α)=0， 得β+γ∈V 1; (k β,α)=k(β,α)=0., 得k β V 1. 所以V 1是V 的一个子空间.
(2) 因为α≠ 0, 把α扩充成V 的标准正交基:,,,2n ααα 由于
0,),(j =ααn 2,...,j =, 所以12,V n ∈αα , 因而dimV 1≥n -1. 另一方面, 因为 α∉V 1 ，所以dimV 1≤ n -1, 于是dimV 1=n -1.
11. (1) 证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。 (2) 利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在
标准正交基。
证明: (1) 设两个基：12,12,,,n n εεεηηη 及，它们的度量矩阵分别为A 和B，并设
)(),(ij ij b B a A ==, P n n ),...,,(),...,,(2121εεεηηη=, 则
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛====∑∑∑∑====nj j i ni i i lj ki n k n l l k n k n l l lj k ki j i ij p p p A p p p P p P p p b 21211111),...,,(),(),(),(εεεεηη,
得B=P T AP.
(2) 取V 的一组基n ααα,...,,21, 设其度量矩阵是A, 则A 是对称矩阵, 且对于任意的α∈ V , n n x x x αααα+++= 2211, 则
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=<n n x x x A x
x x 2121),...,,(),(0αα, 得A 是正定矩阵. 从而存在可逆矩阵C, 使得 C T AC=E.
令),...,,(),...,,(2121n n αααηηη=C, 由(1), n ηηη,...,,21的度量矩阵就是单位矩阵E, 所以n ηηη,...,,21是标准正交基.
12. 设α1,α2,… ,αm 是n 维欧氏空间V 中的一组向量，而
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
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