内积空间简介

第九章内积空间Inner Product Space

§9.1 目的与要求

庆祝西藏和平解放70周年大会

•掌握内积、内积空间的概念

•熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等

•熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用

厦门大学数学科学学院

网址: u.edu

•定义：设V 是R 上线性空间，存在映射( ,):, 使得对任意x , y , z ∈V, c ∈R，有

(1). ( x , y ) = ( y , x )

(2). ( x + y , z ) = (

x ,z ) + (y , z )上海市第五十四中学

(3). ( cx , y ) = c ( x , y )

(4). ( x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为内积空间.

有限维实内积空间称为Euclid 空间(欧氏空间).

活性炭滤池R V V →⨯对称线性非负（实）内积空间

•定义：设V 是C 上线性空间，存在映射( , )：使得对任意x , y , z ∈V, c ∈C，有

(1).(2). (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z )

(3). (cx , y ) = c ( x , y )

(4). (x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间.

•注1：对任意实数a , , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.•注2：在复内积空间中, (,)(,)

x y y x =a a =(,)(,)

x cy c x y =R V V →⨯（复）内积空间

•例1:R n ×1是n 维欧氏空间, 若, 定义内积如下:女模特之死

该内积称为R n ×1上的标准内积.

C n ×1是n 维酉空间, 若, 定义内积如下:

该内积称为C n ×1上的标准内积.

1122(,)...n n

x y y x x y x y x y '==+++例子

财经月历1,C n x y ⨯∀∈1,R n x y ⨯∀∈1122(,)...n n

齐白石的人格x y y x x y x y x y '==+++

•例2:R 2×1上对1) 是内积

2) 非线性, 非内积

3) 未必非负, 非内积11211222

(,)4x y x y x y x y x y =--+例子

1122,x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∀== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1,2(,)max(||,||)i i i x y x y ==1212

(,)x y x x y y =+++

本文发布于:2024-09-22 03:56:47，感谢您对本站的认可！

标签：空间内积解放

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