第5章 线性空间与欧氏空间
初中数学教学大纲第一节 线性空间的基本概念
典型例题（A ）
例1: 检验下列集合对于给定的加法和数乘运算是否构成实数域R 上的线性空间： (1)平面上不平行与某一固定向量的全部向量，关于通常的向量的加法及数乘运算；
视听剧场（2）全体2维实向量所组成的集合V ，关于通常的向量的加法及如下定义的数乘运算：)0,(),(ka b a k = ；
（3）集合V 同（2）
，加法及数乘运算如下定义 )()(),(),(2121112211a a b b a a b a b a ++⊕+=⊕
)2
)1(,(),(2
1
1111a k k kb ka b a k -+=
分析：判断一个集合是否是一个线性空间，首先要判断它对所定义加法和数 乘运算是否是封闭的，其次需要判断它是否满足8条运算规律.
钽酸锂晶片解：（1）否. 例如，令αγβα都和和）（)2/1,0()0,1(,1,2===不平行，但是，γ
β+和α平行，这说明该集合对向量的加法运算不封闭，因此，该集合不是线性空间.
（2）否. 因为其数乘运算不满足运算规则5。例如，12,1(2,0)2,1=≠ （）（）。
（3）是，显然V 对加法和数乘运算是封闭的，同样可以验证8条运算规则也是满足的，因此它是线性空间.
例2： 在22⨯F 中，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3102A 在基⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00111A ，⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=00112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01003A ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=10004A 下的坐标. 解：设所求的坐标为T 4321),,,(x x x x =x ， 则有 44332211A x A x A x A x A +++=
即 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-43212
13102x x x x x x 由矩阵相等的条件，得方程组 ⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=-==+=+-3
x 1 0 2
432
121x x x x x 解得： 3,1,1,14321=-==-=x x x x ， 故所求坐标为： )3 ,1 ,1 ,1(--=x .
例3：22,V R W ⨯=是形如a
a b a b b +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的2阶实方阵，检验W 是否构成V 的子空间.
解：因为对于W 中任意两元素⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=d d c d c c
B b b a b a a A ，及其任意实数k ，都有
W d b d b c a d b c a c
a d d c d c c
b b a b a a
B A ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++++++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+ W kb kb ka kb ka ka b b a b a a
k kA ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++= 即W 关于加法和数乘封闭；又W 中任意元素⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=b b
a b a a
A 可以写成： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110011100b a b b b a a a R b a ∈, 令矩阵线性无关且212121,,, ,1110,0111A A W A A A A ∈⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=，故21,A A 为W 的一组 基，且2div =W ，因此W 是V 的子空间.
例4：设321ααα，，是3R 的一组基，求从基3213
1
,21,ααα到基
133221,,αααααα+++的过渡矩阵.
解：设从基3213
1
chinese农村ree,21,ααα到基133221,,αααααα+++的过渡矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=3332
312322
211312
11a a a a a a a a a A ， 则 []11
121312233112321
222331
32
3311
,,[,,]23
a a a a a a a a a ααααααααα⎡⎤
⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
干旱区资源与环境
即 ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
++=+++=+++=+333223113133322221123233122111121
312131213
121αααααααααααααααa a a a a a a a a
得：3,3,0;0,2,2;1,0,1333231232211131211=========a a a a a a a a a ，
因此所求过渡矩阵为 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=330022101A .
典型例题（B ）
例1 在22⨯F 中，所有的2阶对称矩阵所成的集合W 构成22⨯F 的一个子空
间，证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=12211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=31122A ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=51143A 是W 的一个基. 分析：只需证明321,,A A A 线性无关，且W 的维数是3. 证明：首先证明321,,A A A 线性无关. 利用定义，设有一组常数321,,k k k ，使得
O =++332211A k A k A k
即 ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00005114311212213211k k k A
得齐次线性方程组
12312312
312324020
2 0 350k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪
-+-=⎪⎨+-=⎪⎪+-=⎩
由于上面方程组的系数矩阵的秩为3，故它只有零解0321===k k k ，因此，
321,,A A A 线性无关.
接下来证明W 的维数是3.
容易证明，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00102B ，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=10003B 是W 的一组基，即div （W ）=3，而上面由证明了321,,A A A 是W 的一组线性无关组，因此321,,A A A 是W 的一组基.
例2：[]3P x 求由中元素,142)(231++-=x x x x f ,1932)(232-+-=x x x x f ，
,56)(33-+=x x x f 5752)(234++-=x x x x f 生成的子空间的基与维数.
解：令()0)()()(44332211=+++x f k x f k x f k x f k 则得：
()0
)552()7694(532)22(43214321242134321=+--+++++
---++++k k k k x k k k k x k k k x k k k k
因此 12341212023050.4967011550k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
设该齐次线性方程组的系数矩阵为A ，则1
0340
第一祸水12100000000A -⎛⎫
⎪
-
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
初等行变换， 由此可知12(),()f x f x 是线性无关的，且是1234(),(),(),()f x f x f x f x 所生成子空间的基, 该子空间的维数为2.
且 ).()(4)();
(2)(3)(214213x f x f x f x f x f x f -=+-=
例3：已知齐次线性方程组(I) 的基础解系为T T 12(1,2,1,0),(1,2,1,1),αα==-
齐次线性方程组(II)的基础解系为T 1(2,1,0,1)β=-，T 2(1,1,3,7)β=-，方程组(I)和
(II)的解空间分别为V 1, V 2. 试求1212+V V V V 及的基与维数.
解：112212span{,},span{,}V V ααββ==，若12,V V α∈ 则存在数1234,,,x x x x 使得 11223344=+=+x x x x αααββ 得齐次线性方程组
11223344+0x x x x ααββ--=
即 12341121211111030117x x x x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
0 解得其基础解系为：
T (1,4,3,1)ξ=--
故 12144x k k x k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
从而12V V 的元素可以表示为
T 112212+4(5,2,3,4)x x k k k αααα=-=---
因此，向量T (5,2,3,4)---为12V V 的一个基，且12dim(V V )=1.
若12,V V β∈+则12=+βββ，其中111212212=span{,}=span{,}V V βααβββ∈∈，，因此121212=span{,,,}V V ααββ+.故向量组1212,,,ααββ的极大无关组的秩分别是
12V V +的基与维数，通过计算可得：121,,ααβ为12V V +的一个基，所以12dim() 3.V V +=
第二节 欧氏空间的基本概念
典型例题（A ）
例1：设()ij n n A a ⨯=是正定矩阵，对于n R 中任意两个列向量
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