习题5. 1
1．判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是．
因为是通常意义的矩阵加法与数乘; 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.
由n阶实对称矩阵的性质知;n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵;数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵; 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭; 构成实数域上的线性空间.
2．全体正实数R+; 其加法与数乘定义为
判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.
答 是. 设.
因为;
;
所以对定义的加法与数乘运算封闭.
下面一一验证八条线性运算规律
1 ;
2;
3 中存在零元素1; ; 有;
4 对中任一元素;存在负元素; 使;
5; 6;
7 ;
所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.
3. 全体实科索沃危机n阶矩阵;其加法定义为
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梁晓声按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.
答 否.
.
故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则１; 全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.
4．在中;
hanhan
答 否.
; 也就是说集合对加法不封闭.
习题
1．讨论中
的线性相关性.
解 设;
即 . 由系数行列式
知;
2．在中;求向量其中
解 设
由
得. 故向量为 1; 0 ; - 1 ; 0 .
科索沃危机
解 设
则有.
由
得.故向量为-7;11;-21;30.
4．已知的两组基
Ⅰ：
Ⅱ：
（1）求由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵；
（2）已知向量；
（3）已知向量;
（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量.
解1设C故障树分析法是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 由 C
即;
知基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵为.
2首先计算得;
于是 在基 下的坐标为.
3 在基 下的坐标为.
4 设在基 下的坐标为; 据题意有;
解此方程组可得=.
.
5．已知Px4的两组基
Ⅰ：
Ⅱ：
（5）求由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵；
（6）求在两组基下有相同坐标的多项式fx.
解 1 设C是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 由 C
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