一、单项选择题
R3中下列子集（ ）不是R3的子空间．
A． B．
C． D．
二、判断题
1.设则是的子空间.
2、已知为上的线性空间，则维(）＝2.
3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组线性表出，则维(W)＝s
4、设是线性空间V的子空间，如果则必有
三、1．已知,是的两个子空间，求的一个基和维数．
2．已知关于基的坐标为（1，0，2），由基到基的过渡矩阵为，求关于基的坐标． 四、设是数域P上的n维列向量空间，
记
1.证明：都是的子空间；
2. 证明：.
线性变换练习题
一、填空题
1．设是线性空间的一组基，的一个线性变换在这组基下的矩阵是则在基下的矩阵＝_________，而可逆矩阵T＝_________满足在基下的坐标为_________ .
2．设为数域上秩为的阶矩阵，定义维列向量空间的线性变换： ,则＝_______，＝______，＝_____ .
3．复矩阵的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ .
4．设是维线性空间的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为________变换 .
5．数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为_______国家企业信用公示信息系统(全国)维线性空间，它与________同构.
6．设阶矩阵的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为________ .
二、判断题
1．设是线性空间的一个线性变换，线性无关，则向量组也线性无关. （ ）
2．设为维线性空间的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝，有 （ ）
3．在线性空间中定义变换：，则是的一个线性变换. （ ）
4．若为维线性空间的一个线性变换，则是可逆的当且仅当＝｛0｝. （ ）
5．设为线性空间的一个线性变换，为的一个子集，若是的一个子空间，则必为的子空间. （ ）
三、计算与证明
1．设，问为何值时，矩阵代销和经销的区别可对角化?
并求一个可逆矩阵，使.
2．在线性空间中定义变换：
（1）证明：是的线性变换.
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（2）求与
（3）
3．若是一个阶矩阵，且，则的特征值只能是0和1.
欧氏空间练习题
一、填空题
1．设是一个欧氏空间， ，若对任意都有，则＝_________．
2．在欧氏空间中，向量，，那么＝_________，＝_________．
3．在维欧氏空间中，向量在标准正交基下的坐标是，那么＝_________，＝_________．
4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．
5．已知是一个正交矩阵，那么＝_________，＝_________．
王羽西
二、判断题
1．在实线性空间中，对于向量，定义，那么构成欧氏空间。( )
2．在维实线性空间中，对于向量，定义，则构成欧氏空间。 ( )
3．是维欧氏空间的一组基，与分别是V中的向量在这组基下的坐标，则。( )
4．对于欧氏空间中任意向量，是中一个单位向量。( )
5．是维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵。( )
6．设是一个欧氏空间，，并且，则与正交。( )
7．设是一个欧氏空间，,并且，则线性无关。( )
8．若都是欧氏空间的对称变换，则也是对称变换。( )
三、计算题
1．把向量组，扩充成节流阀体中的一组标准正交基.
2．求正交矩阵，使成对解角形。
四、证明题
1．设，为同级正交矩阵，且，证明：．
2．设为半正定矩阵，且，证明：．
3．证明：维欧氏空间与同构的充要条件是，存在双射，并且 有
小 测 验 九
一、填空题
1、已知三维欧式空间中有一组基，其度量矩阵为，则向量的长度为 。
2、设在此内积之下的度量矩阵为 。
3、在n 维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为 。
4、在欧氏空间中，已知，则 ，与的夹角为 （内积按通常的定义）。
5、设为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式： 。
二、已知二次型
（1）t为何值时二次型f是正定的？
（2）取，用正交线性替换化二次型f为标准形
三、设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
（1）令，证明是一个单位向量；
（2）若与正交，求
四、设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下：
证明：
（1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射）。
（2）V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1.
五、已知是对称变换，证明：的不变子空间的正交补也是的不变子空间．
小测验(六)
一、填空题
1、已知是的一个子空间，则维（V）
＝ ， V的一组基是 .
2、在P4中，若线性无关，则k的取值范围是 .
3、已知a是数域P中的一个固定的数，而
是Pn+1的一个子空间，则a＝ ，而维马血清(W)＝ .
4、设Pn是数域P上的n维列向量空间，记
则W1、W2都是Pn的子空间，且W1＋W2＝ ，＝ .
5、设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T＝ ，而在基下的坐标是 .
二、计算与证明
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