摘要:本文通过对正交变换的概念以及正交变换的一些定理进行定
义,再逐步了解n维欧氏空间上的正交变换。最后讨论普通几何空
间中正交变换的类型。 最终掌握欧氏空间、性质、判别及其初步分
类.
关键字:欧氏空间 正交变换 分类
1.1 正交变换的概念
定义1 设V是一个欧氏空间,σ是V的一个变换.若σ保持向量的内积不变,即α,β∈V,都有 〈σ排课算法(α),σ(β)〉=〈α,β〉 (1)
则称σ是V上的一个正交变换.
从定义1容易看出,V的正交变换保持向量的长度不变,保持两个非零向量的夹角不变,保持正交性不变.
命题1.1 欧氏空间V上的正交变换σ一定是线性变换.
证 先证α,β∈V, 有σ(α+β)=σ(α)+σ(β).事实上,
σ(α+β)-(σ(α)+σ(β)),σ(α+β)-(σ(α)+σ(β))
=|σ(α+β)|2-2σ(α+β),σ(α)+σ(β)+|σ(α)+σ(β)|2
=|α+β|2-2σ(α+β),σ(α)-2σ(α+β),σ(β)+|σ(α)|2
+|σ(β)|2+2σ(α),σ(β)=|α+β|2-2α+β, α-2α+β, β
+|α|2+|β|2+2α,β=|α+β|2-2α+β,α+β+|α+β|2=0,
所以σ保持加法运算.同理可证σ(kα)=kσ(α),α∈V,k∈R.故σ是V的一个线性变换.
从命题1.1和定义1容易得出,正交变换保持两个向量之间的距离不变.
命题1.2 欧氏空间V上的正交变换σ一定是单射.因此,有限维欧氏空间的正交变换是可逆变换.
证 因为σ(α),σ(α)=α,α,所以
α∈Kerσσ(α)= σ(α),σ(α) =0α,α=0α=.
从而Kerσ=0.因此σ是单射.此时,当dimV=n,则σ是满射,所以σ是双射,故σ可逆.
注意到欧氏空间V的任一自同构σ均保持内积不变,因此由命题1.2立得
推论1.1 有限维欧氏空间V的变换σ是正变变换的充分且必要条件为σ是欧氏空间V的自同构.
我们可从另外一个角度来刻画正交变换,即
定理1.1 欧氏空间V到自身上的变换σ是正交变换的充分且必要条件为σ是保持向量的长度不变的线性变换.
证 必要性从定义1和命题1.1立即得到.
充分性 设σ∈EndV,且保持向量的长度不变,则α,β∈V,有
〈σ(α+β),σ(α+β)〉=〈α+β,α+β〉. (2)
(2)式的左边、右边分别为
|α|2+2α,β+|β|2.
所以,〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉.故σ是正交变换.
显然,欧氏空间V的任两正交变换σ,τ的乘积仍然是正交变换.
1.2 n维欧氏空间的正交变换
定理1.2 设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换,则下列陈述彼此等价:
1)σ是正交变换;
2)若α1,…,αn是V的一个标准正交基,则σ(α1),…,σ(α植物抗体n)也是V的标准正交基;
3)σ在V的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证 1)2) 因为〈σ(αi),σ(αj)〉=〈αi,αj〉=δij,i,j=1,2,…,n;且σ(αi)≠,i=1,…,n.所以σ(α1),…,σ(αn)是V的一个标准正交基.
2)3) 任取V的一个标准正交基α1,…,αn.由假设知σ(α1),…,σ(αn)也是V的标准正交基.从而由基α1,…,αn到基σ(α1),…,σ(αn)的过渡矩阵A是正交矩阵,即
σ(α1,…,αn)=( α1,…,αn)A. (3)
(3)式说明σ在基α1,…,αn下的矩阵是A,故3)成立.
3)1) 取V的一个标准正交基α1,…,αn,设σ在这个基下的矩阵是正交矩阵A.α=(α1,…,αn)X,β=(α1,…,αn)Y∈V,则
σ(α)=(α1,…,αn)(AX),σ(β)=( α1,…,αn)(AY).
由于α1,…,αn是V的标准正交基,所以
与鲨共游〈σ(α),σ海关监管(β)〉=(AX)(AY)= X (A A)Y= X Y=〈α,β〉.
因此σ是正交变换.
据上,在标准正交基下,n维欧氏空间V的正交变换与实n阶正交矩阵一一对应.因而可利用正交矩阵将正交变换分类.注意到正交矩阵的行列式等于1或-1.因此,行列式等于1的正交变换称为旋转,或者称为第一类的;行列式等于-1的正交变换称为第二类的.
n维向量空间的任意一个n-1维子空间称为一个超平面.
例1 在欧氏空间V中取一个标准正交基α1,…,αn.定义V上的一个线性变换σ,使得
σ(α1)=-α1,σ(αi)= αi,i=2,…,n,
则σ在基α1,…,αn下的矩阵为A=diag(-1,In-1).显然A是正交矩阵,因此σ是正交变换.由于|A| = -1,因此σ是第二类的.这个正交变换是关于超平面W=L(α2,…,αn)的一个镜面反射(参见本节习题第2题).
1.3 普通几何空间中正交变换的类型
下面讨论几何空间V2和V3的正交变换有哪些类型?
设σ是V2的一个正交变换,σ在V2的一个标准正交基{γ1,γ2}下的矩阵是
U=,
则U是一个正交矩阵.因此
a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0. (4)
由第一个等式,存在一个角ω使
a=cosω,c=±sinω.
由于cosω=cos(±ω),±sinω=sin (±ω),因此可设
a=cos,c=sin.
这里=ω或-ω.同理,由(4)的第二个等式,存在一个角,使
b=cos,d=sin.
将a,b,c,d代入(4)的第三个等式得
coscos+sinsin=0,或cos(-)=0.
最后等式表明,-是的一个奇数倍.于是
cos=sin,sin =cos.
大连城市交通信息网
所以
,或.
对前一情形,σ是将V2的每一向量旋转角的旋转;对后一情形,σ将V2中以(x,y)为坐标的向量变成以(xcos+ysin,xsin-ycos)为坐标的向量.这时σ是关于直线y=x的反射.
这样,V2的正交变换或者是一个旋转,或者是关于一条过原点的直线的反射.
若是后一情形,可以取V2的一个标准正交基{2,3},使国际刑事警察组织σ在基{1,2}下的矩阵为.
现在设σ是V3的一个正交变换,σ的特征多项式是一个实系数三次多项式,因而至少有一个实根r.令γ1是σ的属于特征值r的一个特征向量,并且取γ1是一个单位向量.再添加单位向量γ2,γ3使{γ1,γ2,γ3}是V3的一个标准正交基.则可设σ在这个基下的矩阵为
.
由于U是正交矩阵,则有r2=1,rs=rt=0,从而r=±1,s=t=0.于是
.
由U的正交性推出,矩阵
是一个二阶正交矩阵.由上面的讨论,存在一个角使
.
在前一情形,
.
在后一情形,根据对V2的正交变换的讨论,我们可以取V3的一个标准正交基{γ1 ,2 , 3 }使σ在这个基的矩阵是
T=.
若在T中左上角的元素是1,则重新排列基向量,σ在基{3, 2 ,γ1}的矩阵是
.
若左上角的元素是-1,则σ在基{2 , 3 , }下的矩阵是
.
这样,V3的任意正交变换σ在某一标准正交基{α1,α2,α3}下的矩阵是下列三种类型之一:
,
或=.
在第一种情形,σ是绕通过α1的直线L(α1)的一个旋转;在第二种情形,σ是关于平面L(α2,α3)的反射;第三种情形,σ是前两种变换的合成.
参考文献
1. 张禾瑞.高等代数.第五版.高等教育出版社。
2. 丘维声.高等代数.第二版.高等教育出版社。