一. 内容概述
1.
设V 是实数域R 上的一个线性空间.若是V ∈∀βα.，概念了一个二元实函数.记作
()()R ∈βαβα,,，称为内积，且知足
1)
()()2
;,,αββα=)
()()()()()(),
0,)4;,,,)3;,,≥+=+=ααγβγαγβαβαβαk k 当且仅当
=α时,().0,=αα其中γβα,，是V 中任意向量,k 为任意实数，则称V 为欧几里空间，简称欧氏空间.
常见的欧氏空间有:
缺氧诱导因子
(1)
在
(){}
R x x x x R i
n
n
∈=|,,2
1
里概念内积为()()
1,2211y x y x y x n n +++= βα其
中
()().,,,,,1
1y y x x n
n =
=βα则称R n
为R 上的欧氏空间.
(2)
设[]b a C ，为概念在[]b a ，上所有持续实函数所成的线性空间.内积概念为
()()()()2,dx x g x f g f b
a ⎰=
(3)
设
R
m
n ⨯为一切m n ⨯矩阵所成的线性空间.内积概念为()()3,B A B A t r
'=
则称
R
m
n ⨯为R 上的欧氏空间,
2. 欧氏空间的内积的主要性质:
1)
()()()()()()())
4;0,00,)3;,,,)2;,,==+=+=βαγαβαγβαβαβαk k 设εε
εn
,,,2
1
为
V
的一
组
基
,
,
,2
2
1
1
2211ε
红楼惊梦ε
εεεεβαn
n
n n y y y x x x +
++=+++= 则
()Ay x '=βα，其中()()()()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=εεεεεεεεn n n n
n n A y x y y y x x x
11
112121,.
3. 向量的长度，角，柯西-不涅柯夫斯基不等式().,βαβα≤
正交向量组是线性无关的.正交基.标准正交基.
格拉姆矩阵()()(
)()⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=∈αααααααααααn n n n
m G V V
11
1
121.,,,.
气宇矩阵.ε
εεn V ,,,.21 一组基G=()()(
)()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛εεεεεεεεn n n n
11
11 5. 同构.
6. 正交变换的概念及其等价的四个命题
欧氏空间V 的线性变换A 称为正交变换，若是它维持向量的内积不变即对于任意的
V ∈βα,，都有(βαA A ,)()βα,=.设A 是欧氏空间V 的一个线性变换，于是下面四个
命题彼此等价的: 1)A 是正交变换;
2)A 维持向量的长度不变，即对于.,ααα=A ∈V
3)若是
εε
εn ,,,2
1
是标准正交基，那么εεεn A A A ,,,21 也是标准正交基
4)A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵,
正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆是正交矩阵. 正交变换的分类，第一类(旋转)|A|=1第二类的|A|=-1. 7. 向量与空间的正交, 空间与空间的正交.正交补. 8. 对称变换;, 对称矩阵的标准形.
四个引理:1)设A 是实对称矩阵，则A 的特征值皆为实数.
2) 设A 是实对称矩阵,A 概念为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x n A 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x x n A 21.则对任意R n
∈βα，有
()()βαβαA A ,,=或βααβA A '='
3) 设A 是实对称矩阵，则
R n
中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.
4.设是A 对称变换，V 是A 一子空间，则也是A 一子空间。
定理：对于任意一个n 级实对称矩阵，A 都存在正交矩阵T ，使成对角形。 熟练掌握施密特正交化的方式。 9.酉空间
二．例题选讲
例1． 设A=(ij a )是一个n 级正定矩阵，而),,(),,,(2121n n y y y x x x ==βα在n
R 中
概念内积为:'
),(βαβαA =
（1） 证明在那个概念之下，n
R 成一欧氏空间。
（2） 求单位向量)1,0,0(),0,,1,0(),00,1(21 ===n εεε的气宇矩阵。 （3） 具体号出那个空间中的柯西——布涅柯夫斯基不等式。 解：（1）只要按概念逐条验证就行。 1.).,()(),('
'
'
'
''
αβαβαββαβαβα=====A A A A 2.).,()()(),('
'
βαβαβαβαk A k A k k ===
3.),(),()(),('
'
'
'
'
γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+A A A . 4.j i ij
y x a
A ∑∑=
='),(αααα由于A 是正定矩阵，j i ij y x a ∑∑∴是正定二次型，从而
0),(≥αα。且仅当0=α时，0),(=αα。由此可见，n R 在这一 概念下成一欧氏空间。
（2）设单位向量的气宇矩阵与
)
(ij b B =，那么，
)2,1,0,(00)0000(),(1111)(k j i a a a a a b ij nn n n i j i ij ==⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==εε，此即B=A 。 （3）略。
η =(10,-12,-2，1), 249=η, 所以)1,2,12,10(249
10--±
=η即为所求。
例4． 求齐次线性方程组
⎩⎨
⎧=+-+=-+-+00325321
54321x x x x x x x x x 的解空间的一组标准正交基。
解： 第一可求得基础解系为
)1,4,1,0,0()1,4,0,1,0()
1,5,0,0,1(321=∂--=∂--=∂
的交化得
)
2,1,15,6,7(15
1
)152,151,1,156,157()92
,
91,0,1,97()
1,5,0,0,1(321==---=--=βββ
单位化得
)
2,1,15,6,7(15
31)2,1,0,9,7(1531
)1,5,0,0,1(331321=
---=
--=
ηηη 321,,ηηη即为所求的标准正交基。
例5． 设V 是一n 维欧氏空间，0≠α是V 的一固定向量，则 1）{}V x x x ∈==,0),(|1αν是V 的一个子空间。
2）1lim 1-=n ν。
证 1）10ν∈ ν∴非空。 R k k ∈∀∈∀21121,,,νββ王虹虹
0),(),(),(22112211=+=+αβαβαββk k k k 12211v k k ∈+∴ββ 1v ∴是V 的子空间 。
2）将α扩充为V 的一组正交基n ααα,,,21 则 132,,,v n ∈ααα
132),,,(v n ⊆ααατ 反之 n n k k k v αααββ ++=∈∀22111,， 0),,,(),(0=∴==k k αααβ
),,(),,,,(2132n n v αατααατβ =∈∴
.1lim 1-=∴n v
例6．设A ，B 是n 阶实对称矩阵， 概念 （A ，B ）=trAB
证明：所有n 阶实对称矩阵所成v 关于（A ，B ）成一欧氏空间。
（1） 求v 的维数；
（2） 求使trA=0的空间S 的维数；
（3） 求⊥
S 维数。
证 第一证明V={
}A A R
A n
n ='∈⨯|是R 上线形空间。
诺日吉玛因为 V ∈0 非空 。 又V 是n n R ⨯线形空间的一个非空子集。 且
V B A ∈, 。
R k ∈ 有V B A ∈+ V kA ∈ 故V 是R 上线形空间 。 所以 V 是R 上的线形空间。
又 R k V C B A ∈∈∀,,, 有 ),(),(A B trBA trAB B A ===
00),(0
)
,()
,()(),(),(),()(),(1
2
1
2
2
=⇔=⇔=≥=
'=====+=+=+=+∑∑==A a A A a
A trA trA A A
B A k ktrAB B kA tr B kA
C B C A trBC trAC C B A tr C B A n ij ij n
ij ij
故 V 是一欧氏空间。 下面再解（1）（2）（3）
（1） 设ij E 为（i,j ）元为1。其余员均为0的n 阶方阵。 那么可知
美军南海活动新特点nn
nn n n n n n n E B E E B E B E E B E E B E B =+==+=+==,,,,,,,,22222221112112121111 为V 的一组基。 维（V ）=2
)
1(12)1(+=
+++++n n n n 。 (2)令S={0|__
=∈A t V A r }.可证S 是__
V 的子空间.由于02211=++=nn r a a a A t
∴ 维(S)=
12
)
1(-+n n (3) =+=⊕⊥
2
)1(.n n V S S 维(V )=维(S)+维(⊥S ) 故 维(⊥S )=1.
例7.
设M 是n 维欧氏空间n
R (所有形如),,(21'=n x x x x ,),,(21'=n y y y y 的实向量所组成的实线形空间)其上内积i
n
i i y
x y x ∑==
1
，的一个非空子集.令
}0,|{M y y x R x M n ∈∀=∈=⊥
(1) 试证: ⊥M 是n
R 的一个子空间;
(2) 试证: 当M 为n
R 的一个线形子空间. n
R 可表示为M 与⊥
M 的直和.即
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