曾小林;黄一缘
【摘 要】针对n维欧氏空间上Borel集的构造问题,提出几个具有测度论特的结果加以详细讨论.利用n维欧氏空间中左端点形如mi/2l(其中mi为整数,l为正整数),且长度均为1/2l的那些左开右闭区间形成的集类Al的优良结构,结合实数域上的区间划分、不等式与拓扑技巧,证明了Al是n维欧氏空间的可数无限划分,且随着l变得越大Al变得越精细,对n维欧氏空间中开集中的任意一点来说,当l充分大时,Al中包含该点的那个成员必定包含于该开集中;在此基础上用反证法证明了n维欧氏空间中任一开集都可表示成至多可数无限多个两两不交的n维左开右闭区间之并;最后以此结论为工具,介绍了n维欧氏空间上Borel代数的几个较小生成元. 【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(035)003EVE-NG>克里福德
【总页数】5页(P55-59)
【关键词】n维欧氏空间;Borel代数;较小生成元
【作 者】曾小林;黄一缘
【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067;北京师范大学数学科学学院,北京100875
黄业斌【正文语种】中 文
【中图分类】O174.1
0 引 言
Borel可测集(简称Borel集)是在高等概率论、实变函数、测度论等课程中经常遇到的一个基本概念.简而言之，Borel集是Borel代数的任一成员的称呼，它被冠以测度论的开创人——Lebesgue的老师Borel的名字，显示其在测度论发展历史上的重要性.从数学史知道，概率论在柯尔莫哥洛夫的公理化体系下由于有了测度论的工具而得以深入发展[1].而Borel集和Lebesgue集是测度论最基本的概念，关于后者，许多文献已有详尽论述[2-3].也许是涉及Borel集的过多讨论会削弱Lebesgue集在测度论里的重要地位，一般文献对n维Borel集的构造问题涉及并不多，即使有少量讨论，也多是在一维情形下展开，且着眼于Borel集与Le
缘蝽科
besgue集的关系进行的[4].为了加深对测度论基本思想的认识，改变初学者对有关测度论概念“晦涩难懂”的刻板印象，针对n维欧氏空间上Borel集的构造问题，提出几个具有测度论特的结果加以详细讨论.主要是采用一种新的途径证明文献中已知的下述结果[5]：n维欧氏空间中任一开集都可表示成至多可数无限多个两两不交的n维左开右闭区间之并，然后以此为工具，给出n维欧氏空间上Borel代数的几个较小生成元.从某种意义上来说，本文可以作为“结构-目标”教学思想的一种实践[6].此外，文中引理2证明采用的分情形讨论的方法以及定理1证明采用的反证法比较浅显地例释了测度论和随机泛函分析中常用的方法，尤其是这些方法在随机赋范模上的分析学中也被经常使用[7].
乙醇胺以N表示正整数全体，Z表示整数全体. n维欧氏空间的概念是众所周知的，回忆如下：
定义1[8] 定义映射ρ：Rn×Rn→R如下：
则(Rn，ρ)形成一个度量空间，称为n维欧氏空间，且度量ρ常常略而不提.
定义2 形如的集合称为Rn中的左开右闭区间，其中x=(x1，x2，…，xn)，y=(y1，y2，…，yn)∈Rn满足条件xi<yi(i=1，2，…，n).
这里yi-xi称为该区间第i条边的边长.类似地，还可给出Rn中的开区间、闭区间、左闭右开区间等区间的定义，见文末注记1. 为了与一维的情形相区分，有时这些区间称为n维区间.
1 主要结果及其证明
定理1 n维欧氏空间Rn中的任一开集都可表示成至多可数无限多个两两不交的n维左开右闭区间之并.
为了证明定理1，对任意l∈N引入记号Al，它表示所有形如的左开右闭区间组成的集类.关于集类Al易得下述两个命题.
命题1 Al中任意两个不同成员的交集为空集.
证明 设与是Al中两个不同成员，即存在某i0(1≤i0≤n)使得mi0≠si0.观察由于mi0，si0皆为整数，必有从而∅.
命题2 对任意l∈N，Rn可表示为Al中所有成员的并.
证明 只需证
显然，⊂Rn，只需证Rn⊂
对任意x=(x1，x2，…，xn)∈Rn，为使即2lxi-1≤mi<2lxi，取必满足从而⊂
由x的任意性得
Rn⊂
证毕.
为了证明定理1，需要下面3条引理.
引理1 对每个l∈N，集类Al都是Rn的一个可数无限划分.
证明 由命题1，2立即得证.
引理2 设l1，l2∈N且l1<l2，则Al2中的每个成员都包含在Al1 中的某个成员之中.
证明 任取D∈Al2 ，只需证存在E∈Al1 ，使得D⊂E.不妨设其中si待定).
要使D⊂E，只需⊂
(i=1，2，…，n)都成立.等价地，
注意这两个不等式中l1，l2，mi均为已知，由此得到si必须且只需满足下列不等式：
(1)
下面用构造的方法来证明满足式(1)的整数si总是存在的.
由于mi是整数，不妨设ki·2l2-l1≤mi<(ki+1)·2l2-l1(ki∈Z)，则有以下分两大情形讨论.
情形Ⅰ 当时，取si=ki即可.
情形Ⅱ 当时，注意此时由mi<(ki+1)·2l2-l1推知mi+1≤(ki+1)·2l2-l1，进而得据此再分为两种子情形进行讨论.
子情形1：当时，根据式(1)左侧不等式，取si=ki+1-1=ki即可.
子情形2：当时，注意式(1)左侧式子而式(1)右侧式子取si=ki即可.
对每个i=1，2，…，n，按上述方法构造si，必可使得D⊂E，证毕.
引理3 设G为Rn中的开集，x∈G，则对充分大的正整数l，Al中包含x的那个成员必定包含于G.
证明 首先由引理1知对每个l∈N，Al中必有一个成员包含点x.下证对充分大的l∈N，该成员包含于G.
因为G是开集且x∈G，故存在r>0使得以x为中心，以r为半径的开球⊂G.注意r>0，n>0，当l∈N充分大时，有成立.
因x∈Rn，可设x=(x1，x2，…，xn)，取整数易得2lxi-1≤mi<2lxi，即从而得
注意对任意有从而因此(y1，y2，…，yn)∈B(x，r)，换句话说，⊂B(x，r).综上所述，有⊂B(x，r)⊂G.
再由引理1知，是Al中包含x的那个唯一成员，上面已经证得它包含于G.证毕.
定理1的证明：设G为Rn中的任一开集，要证G可表示为Rn中至多可数无限多个两两不交的左开右闭区间之并.
用表示A1中含于G的左开右闭区间全体；用表示A2 中含于G且与中成员不交的左开右闭区间全体；一般地，用表示Al中含于G且与中成员不交的左开右闭区间全体. 令则中成员两两不交，至多可数无限，且它们的并包含于G.
重组人血管内皮抑制素注射液下面只需证明G包含于中成员的并.
任取x∈G，由引理3知，只要l充分大，Al中包含x的那个成员就必定包含在G中.记l0是满足上述条件的最小的正整数，那么Al0 中包含x的那个成员，记为D，必满足下面予以证明.
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