第八章欧氏空间
第八章 欧式空间
基础训练题
1. 证明，在一个欧氏空间里，对任意的向量α，β，以下等式成立： (1) 222222βαβαβα＋＝－＋＋；知识与能力训练
(2) 〈α，β 〉＝2
24141βαβα－－＋.
[提示：根据向量内积的定义及向量模的定义易证.]
2. 在欧氏空间R 4中，求一个单位向量与 α1＝(1, 1, 0, 0)，α2＝(1, 1, －1, －1)，α3＝(1, －1, 1, －1)
解:ε=⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,21,21,21－－.
3. 设a 1, a 2, …, a n 是n 个实数，证明: )(222211n n i i a a a n a ＋＋＋ ≤
∑=.
证明: 令α=(1,1, …,1), β=(|a 1|,|a 2|,…, |a n |)
〈α , β〉=∑=n
i i a 1≤|α|·|β |=)(2
2221n a a a n +++ . 4. 试证，欧氏空间中两个向量α, β正交的充分必要条件是：对任意的实数t ，都有
|α＋t β| ≥ |α|.
证明: 〈α +t β,α +t β〉=〈α , α〉+2t 〈α , β〉+t 2〈β , β〉
和谐世界必要性: 设α与β正交, 对任意的实数t ，则
〈α +t β,α +t β〉=〈α , α〉+t 2〈β , β〉≥〈α , α〉
所以 |α＋t β| ≥ |α|.
充分性: 当β=0时，结论成立.
当β≠0时，取t 0=2,ββα〉〈-，则
〈α +t 0β,α +t 0β〉=〈α , α〉22
深圳书城培训中心,ββα〉〈-. 由已知
〈α +t 0β,α +t 0β〉≥〈α , α〉
故 22
,ββα〉〈=0, 所以〈α , β〉= 0. 即α , β正交.
5. 在欧氏空间R 4中，求基{α1, α2, α3, α4}的度量矩阵，其中 α1＝(1, 1, 1, 1), α2＝(1, 1, 1, 0), α3＝(1, 1, 0, 0), α4＝(1, 0, 0, 0) .
解: 度量矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1111122212331234. 6. 在欧氏空间R 3中，已知基α1＝(1, 1, 1), α2＝(1, 1, 0), α3＝(1, 0, 0)的度量矩阵为
B ＝⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--321210102
求基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)的度量矩阵.
解: 度量矩阵为 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----343485353.
7. 证明
α1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,21,21， α2＝⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,21,21,21－－
α3＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,21,21－－，α4＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21,21,21－ 是欧氏空间R 4的一个规范正交基.
[提示：令u =(α1, α2, α3, α4)，计算uu T 即可.]
8. 设{ε1, ε2, ε3}是欧氏空间V 的一个基, α1＝ε1＋ε2, 且基{ε1, ε2, ε3}的度量矩阵是
A ＝⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----612121211.
（1）证明α1是一个单位向量；
（2）求k ，使α1与
β1＝ε1＋ε2＋k ε3
正交.
证明: (1) 〈ε1 , ε1〉=1, 〈ε1 , ε2〉=1-, 〈ε2 , ε2〉=2
〈α1 , α1〉=〈ε1 , ε1〉+2〈ε1 , ε2〉+〈ε2 , ε2〉=1
所以α1一个单位向量.
（2）k =1-.
9. 证明，如果{ε1, ε2,…,εn }是欧氏空间V 的一个规范正交基，n 阶实方阵A ＝(a ij )是正交矩阵，令
(η1, η2,…,ηn )＝(ε1, ε2,…,εn )A ,
那么{η1, η2,…,ηn }是V 的规范正交基.
证明: 〈 ηi ,ηj 〉=kj n
k ki a a ∑=1=⎩⎨⎧≠=时当时当j i j i ,0,1 .
10. 设A 是n 阶正交矩阵，证明：
（1）若det A ＝1，则－1是的一个特征根；
（2）若n 是奇数，且det A ＝1，则1是A 的一个特征根.
证明:（1）det(－I －A ) = det(－A A T －A )
= det A ·det(－A T －A )
= det A ·det(－I －A )
=－det(－I －A )
所以det(－I －A )=0，即－1是的一个特征根.
（2）= det(A A T －A )
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= det A ·det(A T －A )
= det A ·(-1)n ·det(I －A )
=－det(I －A )
所以det(I －A )=0, 即1是A 的一个特征根.
10. 证明，n 维欧氏空间V 的两个正交变换的乘积是一个正交变换；一个正交变换的逆变换还是一个正交变换. [提示: 根据正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵
的逆矩阵是正交矩阵，结论易证.]
11. 证明，两个对称变换的和还是对称变换. 两个对称变换的乘积是不是对称变换？出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件. 证明: 两个对称变换的和还是对称变换易证. 两个对称变换的乘积不一定是.例如：令ε1 , ε2是R 2的一个规范正交基，分别取R 2 的两个对称线性变换τσ,，使得
),(21εεσ＝（ε1 , ε2）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0001 ， ),(21εετ＝（ε1 , ε2）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0110 ， 可以验证στ不是对称变换.
肉变器是什么意思>八大山人传两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件是它们可换.
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