5.1 传染病模型

第五章微分方程模型

5.1 传染病模型

模型4（SIR模型）

模型假设

假设条件为：

１.在疾病传播期内所考察地区的总人口数为Ｎ，不考虑生死。人分为健康者，病人和病愈免疫的移出者三类，称为SＩＲ模型。三类人在总人数N中所占的比例分别为s(t),i(t)和r(t)。

２.每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。

3.有些传染病如伤风，痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人。则每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u，称为日治愈率。病人治愈后称为仍可被感染的健康者。1/u是这种传染病的平均传染期。

模型构成

由假设1有：

S(t)+i(t)+r(t)=1

根据条件2和3有：

对于病愈免疫的移出者而言应有：

再记初始时刻的健康者与病人的比例分别为s0(s0>0)和i0(i0>0)（不妨设移出者的初始值r0=0），则上述三式，SIR模型的方程可以写作：

数值计算：

M文件为：

function y=ill(t,x)

4a=1;b=0.3;

y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';

直接保存为“ill.m”

在matlab窗口中输入程序为：

>> ts=0:50;

>> x0=[0.02,0.98];

>> [t,x]=ode45('ill',ts,x0);[t,x]

执行结果为：

ans =

0 0.0200 0.9800

1.0000 0.0390 0.9525

2.0000 0.0732 0.9019

3.0000 0.1285 0.8169

4.0000 0.2033 0.6927

5.0000 0.2795 0.5438

6.0000 0.3312 0.3995

7.0000 0.3444 0.2839

8.0000 0.3247 0.2027

9.0000 0.2863 0.1493

10.0000 0.2418 0.1145

11.0000 0.1986 0.0917

12.0000 0.1599 0.0767

13.0000 0.1272 0.0665

14.0000 0.1004 0.0593

15.0000 0.0787 0.0543

16.0000 0.0614 0.0507

17.0000 0.0478 0.0480

18.0000 0.0371 0.0460

19.0000 0.0287 0.0445

20.0000 0.0223 0.0434

21.0000 0.0172 0.0426

22.0000 0.0133 0.0419

23.0000 0.0103 0.0415

24.0000 0.0079 0.0411

25.0000 0.0061 0.0408

26.0000 0.0047 0.0406

27.0000 0.0036 0.0404

28.0000 0.0028 0.0403

29.0000 0.0022 0.0402

30.0000 0.0017 0.0401

31.0000 0.0013 0.0400

32.0000 0.0010 0.0400

33.0000 0.0008 0.0400

34.0000 0.0006 0.0399

35.0000 0.0005 0.0399

36.0000 0.0004 0.0399

37.0000 0.0003 0.0399

38.0000 0.0002 0.0399

39.0000 0.0002 0.0399

40.0000 0.0001 0.0399

41.0000 0.0001 0.0399

42.0000 0.0001 0.0399

43.0000 0.0001 0.0399

44.0000 0.0000 0.0398

45.0000 0.0000 0.0398

46.0000 0.0000 0.0398

47.0000 0.0000 0.0398

48.0000 0.0000 0.0398

49.0000 0.0000 0.0398

50.0000 0.0000 0.0398

在窗口中输入

plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause

得到下图：

图一 i(t),s(t)图形

在窗口中输入：

plot(x(:,2),x(:,1)),grid

得到下图：

图二 i～s图形（相轨线）

输出的简明计算结果列入下表一：

血氧探头

t	0	1	2	验收测试3	4	5	6	7	8
i(t)	0.0200	0.0390	0.0732	0.1285	0.2033	0.2795	0.3312	0.3444	0.3247
s(t)	0.9800	0.9525	0.9019	0.8169	0.6927	0.5438	0.3995	0.2839	0.2027教师节感恩卡
t	9	10	15	20	25	30	35	40	45
i(t)	0.2863	0.2418	0.0787	0.0223	0.0061	霍金情史0.0017	0.0005	0.0001	0
s(t)	0.1493	0.1145	0.0543	lonely boy>清原百事通0.0434	0.0408	0.0401	0.0399	0.0399	0.0398