Artificial Intelligence and Robotics Research 人工智能与机器人研究, 2020, 9(1), 42-53
Published Online February 2020 in Hans. /journal/airr
/10.12677/airr.2020.91006
Preliminary Study on Transmission Model
and Prediction of New Coronavirus
Fuyi Yang
Anshan Normal University, Anshan Liaoning
Received: Feb. 9th, 2020; accepted: Feb. 20th, 2020; published: Feb. 27th, 2020
Abstract
In this paper, novel coronavirus (COVID-19) transmission model is studied and predicted. Com-plex network theory and six degrees association model, mathematical statistics and regression analysis are used for comprehensive prediction analysis. The application of the basic mathemati-cal theory of analysis in the research and calculation of virus propagation model is given. The forecast analysis gives the short and medium term future data and change trend curve, for analy-sis and reference of relevant personne.
Keywords
COVID-19, Prediction, SM Small World Network, Directed Graph, Complex Network
杨福义
鞍山师范学院，辽宁鞍山
收稿日期：2020年2月9日；录用日期：2020年2月20日；发布日期：2020年2月27日
摘要
本文对新型冠状病毒疾病(COVID-19)的传播模型进行研究和预测，采用复杂网络理论和六度关联模型以及数理统计和回归分析进行综合预测分析，给出分析的数学基础理论在病毒传播模型研究计算中的应用。 预测分析给出了中短期的未来数据和变化趋势曲线。供有关人员分析参考。
杨福义
关键词
2019年冠状病毒病，预测，SM小世界网络，有向图，复杂网络 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
/licenses/by/4.0/
1. 引言
当前，新型冠状病毒(COVID-19)在中国肆虐并已经传播到国外。在中国国家领导的高度重视下，全民总动员。投入抗击新型冠状病毒传染的战斗中，作为科技工作者有必要尽快开展病毒传播特性研究并用于抗击新型冠状病毒的战斗中。本文所使用的数学模型和参数供领导、全国科技工作者和有关人员参考，期望对进一步防控新型冠状病毒的工作有参考作用。
新型冠状病毒(COVID-19) (以下简称新冠病毒)的传播模型采用复杂网络理论的六度关联模型进行预
测分析。是小世界网络模型在流行病传播与预测研究中的现实应用。
中国科学技术大学汪秉宏等人指出：小世界网络中的流行病传播问题。传染病在人中的流行、病
毒在计算机网络上的传播和谣言在人类社会中的扩散等、都可视为流行物(传染病、谣言、舆论、计算机
病毒等)在网络上的传播问题。
美国学者穆尔(C. Moore)和纽曼最早对小世界网络上的传播行为进行了较系统的研究。他们研究了
NW小世界网络上的SIR模型(易感–感染–恢复模型)的传播行为。他们把小世界网络上的疾病传播问题等价于逾渗问题，如座愈渗问题–删除一定比例的网络中的节点、健愈渗问题–删除一定比例的网络中的连边、或座健混合愈渗问题–删除一定比例的网络中的节点与连边，以此来观察删除网络中一定比例的节点与连边对阻碍疾病在网络中传播的效果。穆尔和纽曼给出了愈渗的临界值与网络长程边(捷径)密度的函数关系，发现随着长程边(捷径)的出现，流行病在网络上的传播阈值(即愈渗的临界值)迅速下降，即使少量的长程边(捷径)就可以显著地增加流行病在网络中的传播能力[1]。
阿根廷学者库珀曼(M. Kuperman)和艾布拉姆森(G. Abramson)研究了WS小世界网络上的SIRS模型
(易感–感染–恢复–再易感模型)的传播行为。发现当重连概率p很小的时候，疾病可以在网络中长期存在，但患病比率很小且波动不大，可以近似地看作收敛到一个不动点；而当重连概率p很大的时候，患病人数会出现周期性的波动。即随着重连概率p的逐渐增加，对应于一定的人结构，网络中被传
染的人数从不规则的、小幅度的增加发展到自发的、大范围的振荡状态，其中在p = 0.1附近传染人数明显增加，显示出小世界效应。
流行病在小世界网络上的传播行为与小世界网络的规模、结构、传播系数、网络各结点动态地传播
行为、传播结点状态变化(结点消亡，成为孤点或叶结点)等参数有关，这些网络静态和动态参数对流行病高仓健夜叉
在小世界网络上的传播规律和趋势及其控制有很大影响。掌握网络拓扑结构形态与动态参数的数值，可
以得到流行病在不同情况下的传播情况，显示流行病的发展过程，预测流行病的传播趋势，分析流行的
原因和关键因素，寻对其进行控制和预测的最佳策略。
笔者在充分研读相关材料的基础上，根据对几种复杂网络的数据研究结果和概率统计预测的理论知
识。对新冠病毒的传播模型进行模拟仿真，求取数学模型，验证，依据数学模型开展短期与长期预测工
作。
杨福义
ka5q1265rf小世界网络的定义由米尔格兰姆提出，六度关联模型就是一个反映自然规律的一个模型，只要世界上的事物发生联系，就构成小世界的关联现象，感染者和被感染者都可以抽象为集合中的点，感染过程的传递就是病毒由一个结点向另一个结点的传播关系连线。从而抽象为点与线相关联的传染与被传染关系，就构成了图论中有向图的研究对象。病毒的传播，个体的感染和被感染，已经由最初的个体的传播关系转变构成了体传播行为。其中所爆发的涌现现象模型更值得充分认真的重视，鉴于此项研究关系到当前防控的预测和决策。特介绍有关的初步研究结果。
2. 小世界网络模型的研究
2.1. 小世界网络概述
1967年，美国社会心理学家Stanley Milgram (斯坦利·米尔格兰姆，1933~1984)提出了小世界理论。秋收起义的意义
这是一个数学领域的猜想，名为Six Degrees of Separation，中文翻译包括以下几种：六度分割理论或小世界理论等。这个理论可以通俗地阐述为：“任何两个陌生人之间所间隔的人不会超过六个，也就是说，最多通过六个人，就可以让任何两个陌生人认识[2]”。这就是六度分割理论，也叫小世界理论。
Stanley Milgram的实验结果由于设计和操作上的缺陷，受到了一些心理学家的质疑，但是其他的实验结果也表明世界的确不大。
1998年，Watts和Strogatz采用环形网随机化重连的方法，构建了新的网络，随着边数的增加网络具有较短的平均路径又具有较高的聚类系数。这个网络模型被称为WS小世界模型。
WS小世界模型构造算法中随机化重连过程有可能破坏网络的连通性，1999年，瓦茨又与英国物理学家提出了另一个稍有不同的模型，称为纽曼–瓦茨模型(NW模型)。
而后随着大量学者对复杂网络模型的研究，又提出无标度网络层次网络、确定型网络和自相似网络等一系列网络模型。
中国学者汪小帆提出可变聚类系数无标度网络舆论传播模型。
为了纪念美国心理学家斯坦利·米尔格兰姆的卓越贡献。笔者在本论文中围绕六度分割理论核心：度(层)分布，对10余个复杂网络数据集进行度分布和距离计算等分析。受英国剑桥大学布鲁巴斯关于随机图论证定理的启发，用六度关联模型分析了有限图单个结点对网络的所有结点的连通属性。在此基础上提出小世界网络模型的定义。
小世界网络定义：给定论域的随机图中，各结点相互可达，6层关联的结点包括几乎所有节点有向网
络，称为米尔格兰姆小世界网络，简称SM小世界网络。复杂网络中满足小世界网络特性的子网，称为复杂网络的核心网。
米尔格兰姆小世界网络最重要的特性就是网络最大的直径几乎都不超过7。网络的平均度总是在4附近。
杨炳儒指出：“图论通过点和线的构型来构成模拟各类系统的数学模型，并根据图的性质进行分析，提供研究各种系统的科学的、巧妙的方法。任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图论的方法分析，而且它往往具有形象直观的特点。”图论的研究具有十分广阔的客观原型，并在许多领域中有着极其广泛的应用([3], p. 184)。
病毒的传播可以用个体接受感染，而后在感染别的个体。是典型的二元关系。可以用图论研究小世界理论与数学模型，为了和图论中结点的出度、入度的概念相区别。对小世界网络的度看作层，将六度关联与度分布中的“度”一律加括号中的“层”标明，以避免科技术语概念实质的混淆。
病毒传播的数学模型，目前研究最为彻底应用最为广泛的传染病模型是SI模型、SIS模型、SIR模型SIRS模型。这些模型的特点如下([4], p. 100)。
杨福义
SI模型：系统个体分为两类：易感个体S和感染个体I；
SIS模型：在上面情况中出现被感染治愈又受到感染的微分方程分析；
SIR模型：引入免疫个体：含个体R (不受感染获得免疫力)；
SIRS模型：在移动状态获得免疫力的个体R以概率r失去免疫力的情况；
SEIR模型：易感个体S在被感染后，以一定概率α变为潜伏状态E，再以一定概率β变为感染状态I。
笔者认为：这五个模型的重要区别在于把复杂网络图论中的结点个体，进行了属性分类。这种分类也造成了大范围传染病获得数据的统计难度。尤其后4个模型，具有重要的理论指导意义，但缺少宏观预测与定量分析的详实统计数据而增加工程实施的难度。而SI模型，实质就是逻辑斯蒂模型，稍加变换，就得出与本文一样的形式。
笔者认为复杂网络是各种网络链接生成的网络，每个网络都具有以小世界网络为核心。这个核心网络所具有的集合基数彼此相关的特性，构成了基于模型的宏观统计分析与预测的基础。根据这一集合的基数概率统计分析，预测模型理论中以及数学知识，对新型冠状病毒的统计资料进行短期与较长期的预测与分析成为可能。其预测超前，预测精度可以事后分析检验并随时间序列反映的系统状态调节参数，提高预测水平。
本预测的初始条件做如下限定：在论域内的个体只包含两类人，被传染者和传染者以及随时间由被传染者转变为传染源。即网络的点做如下限定，网络中的任何点都具有接受病毒感染以及传出病毒的能力，即图论中结点的入度和出度都不为0，不考虑自环和重边。结点具有输入和输出的能力。以有向边表示传播途径与层次。
传染病小世界的度(层)分布，反映了体之间的关系，研究度(层)分布的特性曲线对实际应用具有重要意义。由于传染过程统计以时间划分因此在直角坐标系的X轴表示度(degrees)或传染层次，Y轴表示被感染人总数。
SM小世界网络的一个重要应用基础是研究复杂网络中的涌现现象。涌现现象的数学模型对于快速的物理与化学过程尤其重要。其关键是在极其短的时间内，产生的大量动力学现象，在时间切割为微秒、纳秒的时间段，物质分子的动力学特性都与网络的特性与数学参数相关。传染速率最大的时间结点是度(层)分布的峰值。计算表明，此时的感染人数是总人数的50%。
笔者在分析了多个复杂网络后，采用集合的集合。以子集合基数之间的关系为主线，分析了网络层关联现象，对集合的基数进行度(层)分布的相关分析。用于解决文献智能分类，概念体之间的距离分析等实际问题。获得了一些进展。从而为本次预测分析提供验证的实际经验。
2.2. 六度关联模型预测新冠病毒传播的理论基础
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2.2.1. 数学模型和方法
数学模型是“针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。”
“数学模型方法”(mathematical modeling method)，它不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，而且也是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法。特别，现代电子计算机的广泛应用和科学技术的数学化趋势，使得数学模型方法已经非常广泛地应用于自然科学、工程技术科学和社会科学的一切领域中([5], p. 15)。
关系映射反演原则(简称为RMI)原则是指一种分析处理问题的普遍方法或准则([5], p. 24)。
RMI原则实际可以理解为一种包罗万象的科学方法论原则。数学关系是在数学对象中可以确切定义的关系。映射(或变换)是在两类数学对象或两个数学集合元素之间建立了一种“对应关系”，就定义了一
杨福义
格林伯格个映射。特别，如果是一一对应关系。则称为可逆映射([5], p. 28)。
微分方程的求解就是把微分方程取拉普拉斯变换将微分方程变换为象函数的代数方程，求解代数方程，解后再把解出的象函数取拉普拉斯逆变换得到象原函数，即微分方程的解。
何云昌 抱柱之信将被传染的各代体的基数作为体的特征参数，就可以分析网络涌现特征的数学表达式，计算爆发区的范围和爆发期的传染规模。这些都在SM 小世界网络数学模型研究中得到体现。
2.2.2. 时间序列与预测
著名控制论专家维纳在《控制论》第三章“时间序列，信息和通讯”中关于时间序列预测问题时指出：时间序列“它的全部过去能够用可数个量的集来决定。例如，对于范围很广的一类函数()()f t t −∞<<+∞，当已知一组量
()()0e d 0,1,2,t n n a t f t t n −∞==⋅⋅⋅∫
时，f 就完全被决定。”特别，如果0,,n a a 全部给定，A 的分布就可以决定。这里，我们要用到到尼克杜(Nikodym)关于条件几率的著名定理。由这个定理可知，在很普遍的情况下，这分布当n →∞时收敛到一极限，而这个极限分布将提供我们关于任一未来量分布的全部知识，同样，如果知道了过去，我们就可以决定任何一组未来量分布的全部知识，同样，如果知道了过去，我们就可以决定任何一组未来量的数值的同时分布，或任何一组决定于过去和未来两方面的量的数值的同时分布。因此，如果我们对任何统计参数或统计参数集的“最优值”都能做出适当的解释——多半是在平均值或中值或众值的意义上，我们就能由这个已知分布把他们计算出来，得到一个就其优良程度而言能够满足我们所要求的预测准则的预测([6], p. 70~71)。
维纳又指出：“我们能够计算因固定过去而提供我们的关于任一统计参数或统计参数集的信息量。由关于过去的知识，我们甚至能计算某一瞬间以后全部未来的总信息量。由于我们能由一般的过去推知未来，所以，即使上述的瞬间就是现在，我们关于现在的知识也会包含无限大的信息量([6], p. 71)。”
维纳还指出：“离散时间序列的理论在许多方面都比连续时间序列理论更简单([6], p. 91)。”
这一系列的预测理论与公式，为建立仿真模型和预测提供了有力的理论根据。
2.3. 新型冠状病毒传播模型的仿真
2.3.1. 仿真方法的应用
仿真是通过有所研究的经济系统估计的模型计算值来确定系统的行为和性质。如果模型充分地说明了各种经济关系，那么就可以用计算机进行数值研究，根据不同的假设可以确定系统的数值状态。在仿真预算中，内生变量的数值是利用所有的政策变量及其他外生变量、模型参数的估计值、随机扰动项及模型参数的估计值等数据由模型方程计算出来的[7]。
仿真运算有多种形式，预测仿真是根据历史数据，计算现在时点以后的数值，用于预测未来。
新冠病毒传播的预测，就是根据已有数据预测未来近期和远期的数据。而根据每日发布的各省市数据，
实时加入新数据，在与时俱进的状态下，微调系统预测模型的参数，逐渐滤除扰动项而逼近系统变化的真实状态，从而提高预测的实用价值。在笔者的大量预测图表中，分析，比较精度误差和真实数据的状态。因此。误差数据也是财富，具有洞察复杂网络系统中病毒传播现象的规律趋势的参考意义。最求过高的精度带来宏观预测的难度和计算数据缺失困惑，而实时更新统计数据的原始资料才是科学预测前提的意义所在。这里，时间序列系统数据的增加提高了系统的测度，给予系统更多的信息熵，因此，如同天气预报，在动态跟踪下，产生依据客观规律的预测报告。
由于仿真是模拟客观真实物状态发展的规律。很多现象，例如：病毒在生物种的传播，有的是人
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