摘要：
SIR模型：借助于经典的微分学传染病模型---SIR模型分析了SARS的传播情况，由于该模型假设较为理想化，不符合SARS病情实际的传播情况。我们在SIR模型基础上又提出SIR-F模型和SIF-MN模型。 SIR-F模型：该模型考虑了处于非典潜伏期的人数和城市人口流入流出率对非典疫情的影响。由于在短时间内无法获取这两项数据，故本文对该模型的参数设置和具体求解未做进一步探讨，但该模型对于有关部门仍有借鉴的价值。 SIR-MN模型：本模型充分考虑疑似病例、日确诊率、自由传播者等诸多关键指标，进一步改进SIR-F模型。通过对北京数据的曲线拟合及期望值的计算，确定了SIR-MN模型中的未知参数。以5月2日为起点，对5个边界条件进行计算，再利用欧拉前推公式，求出该模型的数值解。从而可用MATLAB描绘出与实际曲线能较好吻合的预测曲线，因为计算过程采用北京参数，所以全国的预测曲线与实际曲线存在一些差距。
SIR-MN模型能够较为客观地分析出非典疫情走势，能大致预测疫情的高峰期、平稳期和可控期到来的时间，从而给卫生部门合理决策提供可靠信息。
关键词 SARS 疫情 微分方程 数据拟合 欧拉前推公式水中声速
一 问题的提SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。2003年春天，SARS 的爆发和蔓延给我们国家的经济发展和人民生活带来了很大影响，面对这突如其来的灾害，我国人民在党中央和国务院的统一领导下，展开了一场为期数月抗击SARS 的顽强斗争。依目前的情形来看，SARS 在全世界范围内已经得到了根本有效的控制。尽管SARS 作为一种时疫似乎已成为过去，或许也可能会随着夏日高温的退却又卷土重来，但SARS 时疫对我国社会发展的影响是极其重大的，且还需要我们为其进行大量理论性的思考，积累更多重要的经验和教训，为抗击SARS 时疫并取得彻底性胜利提出有价值的建设性意见。现将SARS 的传播建立数学模型以让我们定量地研究传染病的传播规律、为预测和控
制传染病的蔓延创造条件。
二 对附件1中模型的评价
附件1中是使用指数模型来对整个疫情进行预测与分析的，并采用半模拟循环算法，分阶段地对各项数据进行拟合，从而推算得到香港和广东的传染率。利用香港和广东指标来预测北京非典疫情走势。
该模型的优点：
1）文中模型0()(1)t N t N K =+中参数K 有比较明显的实际意义，代表着一个病人传染给他人的平均概率。同时模型中确定了每个病人可以直接感染他人的时间为L 天，在L 天外，病人就失去了感染力，这个假设比较符合实际情况。
2）该模型能够根据非典这一传染病的实际特征和大众的心理变化情况，在非典疫情的不同时期，参数K 取不同的值。在非典初发期，由于社会防范意识不强，感染率较高，因此K 值较大。在社会经过短期的剧烈调整之后，对疫情的控制较好，使得感染率降低，于是将K 调低，此做法也比较符合实际情况。
3）该模型通过对不同地区疫情数据的分析，来确定模型的参数，使模型具有普遍的使用意义。由此推算出的北京非典疫情走势，具有一定的可信度。
4）该模型中对非典疫情走势分析得详尽细致，对两阶段的分析也较为合理。尤其该指数模型对非典疫情初期模拟效果较好。由北京实际数据可知，预测结果和实际结果较为吻合。
但是，该模型也存在着以下的不足：
1）由于地区之间的地理条件，气候环境，经济水平，生活习惯等因素存在差异，该模型利用其他地区数据获得的参数去推算北京的非典疫情走势，将存在着较大误差。
2）该模型只考虑了传染期限和传染他人的平均概率。忽略了交通工具上传
播，实际上从各地的SARS疫情来看，交通中的传播有一定的影响。
絮凝剂3）该模型在传染期限上的定值在医学上未予以证明。
4）该模型未考虑非典疑似病例在人口中的比例，未考虑疑似病例的排除率和确诊率。实际上，这三项指标对于非典的走势极为重要，我国在4月22日以后就每天公布这三项数据。
5）该模型忽略了人口的流动率。实际上，传播具有高度的区域性，如果对地区间的接触模式进行研究，可为控制传播提供了更多选择。
6）该模型忽略了对于非典未被隔离者的数量及其在健康人中的分布。
7）该模型没有考虑病毒的传播形式及病毒本身的传播能力等重要因素。
8）该模型还忽略了温度因素对传染率的影响，实际上SARS病毒传播与气象条件有关系。在温度较低的情况下有利于SARS病毒扩散和传播；反之，不利于SARS病毒的扩散和传播。
综上所述，该模型在某些方面有一定的合理性，在当时的情况下，具有一定的指导意义。可是，它所考虑的因素还不够全面，不能够很精确地说明问题，还需仔细推敲完善。
草酸亚铁
本文模型二中考虑了人口流动率。模型三中考虑了疑似病例占总人口的比例、患上非典却未被有效隔离的人数占总人口的比例、疑似病例在单位时间内的排除率、疑似病例在单位时间内的确诊率、非典未隔离者单位时间的感染率、非典未隔离者单位时间转化为确诊病例的比率、被非典未隔离者感染的人中不可控制的比率等诸多因素，对附件1中的模型加以完善。
三数学模型的分析与建立
模型分析
SARS是一种传染性疾病，存在着潜伏期，在此期间患者没有明显临床症状，不易被发现。政府在不同时期对它认识程度不同，所以采取的控制手段也存在明显差异，一般SARS疫情的传播可分为四个阶段：疫情初期、疫情高潮期、疫情缓解期和疫情控制期。但是我们考虑到在疫情初期，社会对SARS传播的速度和危害程度认识不够，政府和公众都对SARS存在的潜在威胁不以为然，所以对SARS 疫情不存在完整的统计数据。在缺乏有效的数据资料的情况下，我们撇开疫情初期，致力于疫情中后期的研究。由于在疫情的高潮期和疫情的缓解期，人们有不同的心态以及一些医疗方案还在进一步完善，所得数据波动比较大，对研究SARS 的传播及预测带来了一定的难度。在疫情缓解期和疫情控制期，由于政府对SARS 的传播途径进行了严格的隔绝，以及人们对它有了进一步的认识，SARS得以有效的控制，确诊病例和疑似病例均呈单调下降趋势。这与突发性传染病（如）有极为相似之处，所以我们用传统的微分方程建模，会比较符合SARS疫情的走势与规律。
模型假设
1)中国政府公布的非典疫情数据真实可信。
2)在非典时期，出生率与自然死亡率（不因非典而死）大致相等，使总人口数
可视为保持不变。
3)一旦感染上非典病毒的患者，最后都会显示出症状，被确诊。
4)处于潜伏期（一般为5天）的非典患者不具传染性。
5)被严格隔离者完全与外界隔绝，视为不具有感染能力。
6) 后病愈者已获得免疫能力，且不再携带非典病毒，视为不具有感染能力，
也不会复发。
7) 因非典而死亡的患者，将不会再感染其他人，视为退出者。
8) 确诊病例和疑似病例都会被有效隔离。
模型一：经典的SIR 模型[2][4]
我们首先借用经典的SIR 传染病模型来分析SARS 模型。假设患病而完全病愈的任何人不会再患病，并设SARS 的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个人患了病之后立即成为传染者。在这种情况下把人分为三类：
第一类是由能够把SARS 传染给别人的那些患病者组成的，用()I t 表示t 时刻第一类人占总人口的比例。
连通性第二类是由并非患病者但能够得病而成为患者的那些人组成的，用()S t 表示t 时刻第二类人占总人口的比例。
第三类是包括患病死去的人和病愈后不会再受感染的人，用()R t 表示t 时刻第三类人占总人口的比例。
又假设SARS 的传播服从下列法则：
1．在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平，即不考虑出生及其他原因引起的死亡以及迁入、迁出情况。
2．易受传染者人数()S t 的变化率正比于第一类人的人数()I t 与第二类人的人数()S t 的乘积。
3．由第一类向第三类转变的速率与第一类人的人数成正比。
由此得下关系式
dS SI
dt dR I dt dI SI I dt αβαβ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩ ①
其中α、β为两比例常数，α为传染率，β为排除率。
由①的三个方程相加得
(()()())0d S t I t R t dt
血翼
++= 又
()()()1S t I t R t ++=
所以
()1()()R t S t I t =--
由①中第一、三两式得 dS SI dt dI SI I dt ααβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ②
由此推出
11dI SI I dS SI s
αββαα-==-+- ③
所以 ()ln I S S S C βα
=-++ 当0t t =时，00()I t I =，00()S t S =，记βρα
=，即有 000
()ln
性伦理S I S I S S S ρ=+-+ ④ 下面我们讨论积分曲线④的性质： 由③式知： 0,'()10,0,S I S S S S ρρρρ
<>⎧⎪=-+==⎨⎪><⎩ 所以当S ρ<；时，()I S 是S 的增函数，当S ρ>时，()I S 是S 的减函数。而(0)I =-∞，00()0I S I =>，由连续函数的介值定理及单调性可知，存在唯一**0,0S S S <<；使得*()0I S =，且当*0S S S <≤时()0I S >。 当0t t ≥时，方程④的图形如图3-1。
(图3-1)
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