第27卷第6期江苏理工学院学报
JOURNAL OF JIANGSU UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vo l.27，No.6 Dec.，2021
2021年12月
新型冠状病毒肺炎疫情自2019年暴发至今，仍在全球多个国家和地区肆虐。除生物医药、卫生医疗等直接服务于疫情控制的学科和行业外，其他学科的学者也在运用专业知识积极投身于这场全球疫情阻击战。在病毒传播阶段，用合适的数学模型可以分析和预测其发展态势，从而为各种防疫措施提供有效参考。当前，对新型冠状病毒传播进行分析预测的数学模型大体可以分为两类：一类是运用传播动力学模型（SIR模型、SEIR 模型）对疫情的传播建模；另一类是基于时变参数的数学模型（一般增长模型、Logistic模型）对现有数据的拟合。此外，也有学者通过引入新的参数或将两类模型结合，从而提出新的思路与见解。 1传统模型的改进
1.1传播动力学模型
1.1.1SIR模型
SIR模型是最为普遍的数学模型，其基本思想是将所有人分为3种：易感者S，代表未被感染且不具有免疫力的体；感染者I，代表具有一定传染力的体；移除者R，表示隔离、死亡及治愈且具有免疫力的体，这部分人已退出传染系统。这三类体会以一定的概率发生状态转移，从而形成了“易感态—感染态—康复态”的动力学模型，如式（1）所示： ì
í
î
ïï
ïï
S′()t=-βI()t S()t/N
I′()t=βI()t S()t/N-γI()t
R′()t=γI()t
。
（1）
其中，N为人口总数，β为感染者与易感染者的接触传染率，γ为感染者被治愈速率。
喻孜等人[1]认为，此次的新型冠状病毒传播相比曾暴发过的SARS、MERS冠状病毒有特殊之处，主要表现在总人口数的稳定性、人口流动因素（非封闭性）、隔离措施、潜伏期因素和初期的诊断能力等几个方面。所以，SIR模型在运用方面有一定局限性，需要根据疫情发展的实际情况进行合理
新型冠状病毒传播的数学模型研究综述
王雨，孟凤娟，施俊，王昊杰，董雯
（江苏理工学院数理学院，江苏常州213001）
摘要：以新型冠状病毒的传播作为研究对象，通过文献查阅的方式对病毒的传播机制进行了研究，查并梳理了研究新型冠状病毒传播的相关模型，传播动力学模型和基于时变参数的模型；总结了在不同因素作用下各模型的改进，多仓室因素下的传染病动力学模型、多时段动态时滞动力学模型、考虑社交隔离的SEIRS模型和引入隐形传播者的SEIR模型；最后，结合近期研究的离散模型，介绍了数据拟合的方法在离散模型中的应用，并说明数学模型对疫情防控的重要指导作用。
关键词：新型冠状病毒；数学模型；传播动力学模型；时变参数；
中图分类号：O242.1文献标识码：A文章编号：2095-7394（2021）06-0089-08
收稿日期：2021-08-16
基金项目：江苏省大学生创新创业训练计划项目“基于新型冠状病毒传播的数学模型研究”（202111463074Y）
作者简介：王雨，本科生，主要研究方向为数学教育。
指导教师：孟凤娟，教授，博士，主要研究方向为非线性泛函分析；施俊，副教授，硕士，主要研究方向为数学教学论。
地修正。
1.1.2SEIR模型
SEIR模型以SIR模型为基础，考虑了传染病的潜伏期因素，且假定潜伏期内患者不具有传染力。万时雨等人[2]认为，新型冠状病毒在潜伏期就具有传染性，因此SEIR模型不能很好地模拟新型冠状病毒的传播趋势。因此，学者们根据新型冠状病毒的传播特征，对SEIR模型进行了改良。Musa Salihu S.等人[3]认为，对轻度和重度病例采取不同的隔离措施，对疫情传播发展具有重大影响，于是在SEIR模型
中考虑了轻症和重症的隔离因素。朱翌民等人[4]认为，针对不同类型的感染者所需的防控措施应有所不同，因此考虑了隔离措施和潜伏期感染者的特点，改进了SEIR模型，在原有的四类体中加入了被隔离的患者。李栋等人[5]认为，此次的新型冠状病毒在潜伏期具有较强的感染能力，无法用SEIR模型描绘，于是构建了具有更好灵活性的SISR模型。
1.2基于时变参数的模型
如果不考虑新型冠状病毒的传播机制，而直接从数据入手进行拟合，则拟合效果与真实情况稳合度一般不高。张琳[6]假设感染人数的增长率会随着累计感染人数的变化而变化，然后再把这个变化的函数关系带入感染人数增长的微分方程，并拟合少量参数。
1.2.1一般增长模型
在新型冠状病毒传播初期，因为传播的约束性较低，因而累计确诊人数通常呈指数型增长，见式（2）： y′()t=ry()t。（2）张琳[6]认为，在很多已经暴发的传染病中，相比于指数增长，次指数增长趋势在疫情传播初期更为常见，如HIV/AIDS、埃博拉和手足口病等；通过引入可调参数p（增长率的负加速度参数），得到预测累计感染人数的一般增长模型，见式（3）：
y′()t=ry()t p。（3）通过对疫情发展关键时间节点的划分，全国新冠肺炎累计确诊病例数的拟合可分为三个阶段。在这三个阶段中，由方程（3）分别拟合参数
r、p，可通过查询某日累计确诊病例数得到初期感染人数y0。
1.2.2Logistic模型
Logistic模型最初用来模拟种变化，但该模型同样也可模拟传染病的增长趋势。刘胜等人[7]认为，该模型主要分为加速上升和减速上升至不变两个阶段，充分反映了传染病中病毒传播特性与人为干预对感染的影响，因此，Logistic模型能很好地描述新型冠状病毒的传播规律。
但Logistic模型只能预测累计感染人数，对现有确诊人数则无法做到模拟。冯苗胜等人[8]在Logistic模型的基础上，综合考虑到SEIR模型可以模拟传染病传播过程中各类人数量的变化，于是对相关参数进行了调整，提出Logistic与SEIR结合的模型；该模型既克服了Logistic模型不能预测确诊人数的缺点，也克服了SEIR模型调参太多的缺点。
2考虑特殊因素的改进数学模型
2.1多仓室因素下的传染病动力学模型
作为研究传染病传播机理的定量方法，动力学模型的发展有着举足轻重的作用。学者们通常以SIR、SEIR模型作为基础，构建基于某种传染病传播特点及防控措施的传染病模型。
桑茂盛等人[9]在仓室传染病模型的基础上，考虑到新冠病毒的特征及其传播特点，综合新冠疫情中潜伏期的隔离情况、感染者症状的显隐性等分类，建立了一种新传染病模型；结合COVID-19的传播特点，作出如下基本假设：（1）新冠病毒感染者中有一部分无症状感染者，具备传染性，无症状感染者不计入确诊病例且经过发病周期后自愈；（2）新冠病毒肺炎存在潜伏期，潜伏期的病毒携带者具有传染性却没有病征；（3）新冠病毒有变异的可能，治愈者具备一定时间的免疫周期，超过免疫周期之后再次感染率较小；（4）感染者在医院里时，有感染医护人员的可能，但传染的比率较小。
该模型建立了8个仓室：易感染者（S）、未隔离潜伏感染者（E）、已隔离潜伏感染者（Q）、确诊感染者（I）、无症状感染者（A）、确诊治愈者（R）、无症
江苏理工学院学报
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状治愈者（F ）、未治愈病死者（D ）。其中：确诊感染者（I ）指已被感染且由医学检测确诊的人；确诊治愈者（R ）是指确诊感染者经后康复的人；
无症状治愈者（A ）是指无症状感染者在一个发病周期后自行康复的人。各仓室之间的传播状态转移如图1所示。
图18个仓室的动力学感染传播模型
根据以上8个仓室之间的关系，设定一系列参数构建模型。8个仓室代表着传染周期中的不同人，其随时间的增长率可用式（4）表示：ìíî
ïï
ïïïï
前妻回来了txt下载ïï
ïïïïïïïïïïïïïïïïS ′()t =-α()E ()t +A ()t +εI ()t S ()t /N +ωγ4R ()
t E ′()t =α()E ()t +A ()t +εI ()t S ()t /N -()1-λγ1E ()t -λγ2E ()t Q ′()t =λγ2E ()t -γ3Q ()t I ′()t =()1-ληγ1E ()t +γ3Q ()t -βI ()
t A ′()t =()1-λ()1-ηγ1E ()t -βA A ()t R ′()t =κβI ()t -ωγ4R ()t F ′()t =βA A ()t D ′()t =()1-κβI ()t 。（4）
其中：
γ1、γ2分别为未隔离潜伏期感染者被确诊的速率和被隔离的速率；
γ3、γ4分别为已隔离的潜伏期感染者被确诊的速率和治愈者再次感染的
速率；
η是潜伏期感染者无症状的概率；B A 是无症状感染者的恢复速率；
ω、ε分别指治愈者变为易感人的概率、医院就诊过程医护人员被感染的概率；间接参数λ、α分别指潜伏期感染者隔离率和未隔离感染者病毒传染率；β、
κ分别为感染者被治愈的速率和比率。现存确诊病例I ()t 、累计治愈病例R ()t 和累计死亡病例D ()t 这几组数据都可以从官方公布的信息中获得，而累计确诊病例由累计确诊感染者cI ()t 决定。通过搜集官方数据，代入式（5）对式（4）进行验证：
和平县论坛cI ′()t =()1-ληγ11E ()t +γ3Q ()t 。
（5）
该模型运用多仓室模型，考虑到潜伏期、未隔离感染者等特殊情况，能较准确地揭示疫情传播的机理；相比经典动力学模型，模拟精度更高，且对于不同地区的疫情预测具有普适性。但是，由于现实中疫情的传播存在模糊性，与模型中界限明确的仓室划分不完全吻合，加之各国对疫情的管控能力、管理措施不尽相同，因此明确、绝对的仓室划分在实际运用中还是存在一些缺陷。
2.2多时段动态时滞动力学模型
国外疫情暴发初期，人们不够重视，同时确诊检测不及时，造成了记录数据与实际感染人数差异较大的问题，不利于疫情的分析。针对这种状况，张李盈等人[10]基于中国真实疫情数据建立了多阶段动态模型。该模型以经典的SEIR 模型为基础，将病毒传播周期划分为6个阶段，用某一时刻的瞬时值处理各阶段，因而可用于对国外疫情的分析。
该模型假设：（1）潜伏期的感染者可以传播病毒，其感染性低于确诊的感染者；（2）不考虑二次感染；（3）在政府的管控下，能及时诊断并隔离所有感染者。假设确诊感染者一天内接触到的易感者数量为Q 1()t ，潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量为Q 2()t ，两者都是关于时间的递减函数且具有指数形式，则Q 1()t ，
Q 2()t 的分时段表达如式（6）、式（7）所示：
S
F
E A
Q
I
R
D
β()E +A +εI /N
()1-κ/θα1
ργ
()1-κ()1-θα1
κα2
γA
α3
()1-ργ
王雨，等：新型冠状病毒传播的数学模型研究综述第6期91
Q 1()t =ìíîïïïïn 1，阶段一
()n 1-n 2e -κ1t -15+n 2，阶段二()n 2-n 3
e -κ2
t -22+n 3,3~6阶段
，（6）Q 2()t =ìíîïïïïn ′1，阶段一()n ′1-n ′2e -κ′2t -15+n ′2，阶段二()n ′2
-n ′3e -κ′3
t -22+n ′3,3~6阶段
。
（7）其中：
n 1、n ′1分别代表第一阶段确诊感染者和潜伏期感染者每天接触到的易感者人数；
教师培训的意义n 2、n 3分别代表第二阶段、第二阶段后期确诊感染者每天接触到的易感者最小值；
n ′2、n ′3分别代表第二阶段、第二阶段后期潜伏期感染者每天接触到的易
感者最小值；κ1、κ2分别代表阶段二、阶段三确诊者的指数递减速率；κ′1、κ′2分别代表阶段二、阶
段三潜伏期感染者的指数递减速率。
不同阶段的疫情传播状况和政策实施决定感染者的有效接触率，根据以上不同时段的传播特征参数，有模型（8）：
ìíî
ïï
ïïïïïïïïïïïïïïS ()t +1-S ()t =-α1i β1j I ()t -α2m β2n E ()
t E ()t +1-E ()t =-α1i β1j I ()t +α2m β2n E ()t -α2i β1j I ()t -t 1-α2m β2n E ()t -t 1I ()t +1-I ()t =-α1i β1j I ()t -t 1+α2m β2n E ()t -δα1i β1j I ()t -t 1-t 2-α2m β2n E ()t -t 1-t 2R ()t +1-R ()t =δα1i β1j I ()t -t 1-t 2-α2m β2n E ()t -t 1-t 2。（8）
其中，
α1i 、α2m ()i =1,2,3;m =1,2,3分别指确诊感染者、潜伏期感染者每天接触易感者数量，β1j 、β2n ()j =1,2,3;n =1,2,3分别指不同时期易感者接
触确诊感染者、潜伏期感染者的概率。式（6）和式（7）的区别在于，不同疫情防控阶段对应的系数α1i 、α2m 、β1j 、β2n 不同：第一阶段为暴发初期，设定确诊感染者的传染率为β11，有效接触人数为α11，潜伏期感染者的传染率为β21，有效
接触人数为α21；第二阶段为隔离政策下的传播期，由于政策的有力实施，感染者接触健康人使其感染的概率降低，其中潜伏感染者和确诊
感染者的有效接触率分别为β12，β22；第三阶段为紧急预防期，由于上一阶段政策的实施，隔离力度加大，感染者的接触率降低，潜伏感染者和确诊感染者的有效接触率分别为β13、β23；第四
阶段为强烈干预期，这一阶段的隔离力度没有改变，但随着潜伏期的过渡，感染者的人数达到峰值，
感染系数不变；第五阶段为缓和期，缓和期的医疗资源得到一定的保障，感染人数的下降和治愈率的提高使疫情的传播及预防控制的形势得到改善，此时易感者接触确诊感染者和潜伏感染者的分别为α12、α22；第六阶段为相持期，感染人数快速下降，各方面表现均为缓和期的优化，易感者接触确诊感染者和潜伏感染者的分别为α13、
α23。上述模型运用离散时间的方法，改进了多时
滞动力学模型，刻画了不同疫情防控阶段的疫情传播情况，适用于对各国新冠疫情传播过程的模拟。但该模型未考虑输入等人员流动情况，在疫情进入第六个阶段或者一个周期结束后，将可能迎来下一个周期，此时的病毒往往会发生变异，如德尔塔病毒，因此模型还需在考虑外界因素的基础上进行不断优化。
2.3滚动SEIR 模型
在疫情传播过程中，人们会经历从“不重视”到“自我保护”两个阶段。第一阶段的基本再生数可认为是经典SEIR 模型中的常数，第二阶段各种防治措施开始完善、自我保护意识增强，使得基本再生数有所下降，所以第二阶段的基本再生数是一个关于时间t 的函数。
由此，谢家荣等人[11]提出了一种基本再生数会变化的SEIR 模型，即滚动SEIR 模型，见式（9）：
R 0
()t =n ()
t c ()t -1-c ()
t -T 。
（9）
式中：
n ()t 表示第t 天的新增感染人数，c ()t 表示第t 天的累计感染人数，
T 为潜伏期。通过对国家卫健委公布的数据进行拟合，得到R
()t 的变化数据图。考虑到疫情传播初期，个别地区医疗物资缺乏、医务人员紧缺，使得公布的数据未能正确反应实际已经被感染的人数，导致拟合时数据偏小，故采取分阶段计算全国及全国除个别地区的再生数数据。将上述拟合出的数据代入迭代方程（10），
江苏理工学院学报92第27卷
ìí
î
ïïn ()t =[]c ()t -1-c ()t -T R 0
()t T c ()t =c ()t -1+n ()t ，（10）
用计算机算法求解，即可预测出确诊人数。
该模型在经典的SEIR 模型基础上通过变化基本再生数这个参数，能够对某一国家或地区在人采取自我保护措施后感染人数的预测起到重要作用。但是，该模型未考虑时间滞后性（检测能力和医疗状况能力不充足导致的时间差异）、输出病例对其他城市的影响等因素，因此也存在一些局限性。
2.4考虑社交隔离的SEIRS 模型
由于潜伏者和治愈者均存在二次感染的可能，社交隔离是有效控制疫情传播的手段之一。为此，黄梦瑶等人[12]提出研究模型应该按照“S—E—I—R—S”的顺序进行，基于不同的社交隔离方案会对疫情变化产生不同影响的认识，将隔离时间、隔离程度等因素引入模型。
该模型在4类基本人的基础上，将感染者
进一步细化为非住院患者、住院非重症患者和住院重症患者。鉴于不同国家的医疗状况和人口规模对疫情变化发展的不同作用，该模型选取了具有一定代表性的国家，如德国、中国、美国和印度的数据，对传统的SEIRS 模型参数进行了改进：（1）非重症患者向康复者的转化速率用δH 表示；（2）未来重症住院患者向重症患者的转化速率用δc 表示；（3）重症患者向康复者的转化速率用ξH
表示。
一般而言，医疗状况较好的国家，如德国，δH
会更大、δc 会更小、ξH 会更大；而对于医疗物资匮
乏、医务人员缺乏的国家，如印度，这三个参数则会相反；对于中国、美国这类国家，这三个参数则不做调整。因此，三个参数的取值见表1。同时，需要考虑不同国家疾病传染率的最大值R o max 和死亡率α，这两个值根据各国公布的数据分析得出，见表2。
表1典型国家几种疫情状态转换率
武英高速公路模型参数δH δc ξc
代表国家
德国1/71/71/8
中国/美国1/81/61/10
印度1/91/51/12
高四表2
典型国家传染率和死亡率
模型参数R 0max α
代表国家
德国2.50.0461
中国2.70.0555
美国2.70.0656
印度2.90.0378
该模型假设：以上4个国家从同一起始时间暴发疫情，且有相同的初始现有确诊人数、潜伏人数和康复人数；考虑到各个国家对此次疫情的重视程度以及实施社交隔离的时间，将中国和印度设置为发现病例两周后开始隔离，德国和美国设置为发现病例四周后开始隔离；在不同隔离时间
的隔离方案中，设置多种不同隔离程度（隔离人数占总人数的百分比）来拟合各个国家的确诊人数，以此体现不同国家的防疫效果。
地牢围攻3联机通过该模型的研究发现，短期（时间≤12月）或长期（时间＞12月）隔离在人口总数和医疗状况不同的国家效果差异明显。短期社交隔离时：时
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