第
36卷
第
2期2021年
4月
成都信息工程大学学报
JOURNAL OF CHENGDU UNIVERSITY OF INFORMATION TECHNOLOGY
Vol.36No.2
Apr.2021
文
章
编
号
：
2096-1618(2021)02■
024443
廖富毅
(成都信息工程大学数学学院，四川成都610225)
摘要：传染病是由病原微生物入侵人体所引起的一类疾病，如今多发的各类传染病，如流行性感冒、乙肝、结核病、禽流感以及2020年席卷全球的新型冠状病毒等等，它们对人类的健康、日常生活和社会经济发展构成了很大威胁。因此制定有效传染病防治策略是极其重要的。借助于数学模型了解传染病的内在传播机理，由此制定出更佳的防疫政策来抵御疾病传播。
关键词：数学建模；传染病模型；传染病的控制；S IR模型
中图分类号:029 文献标志码：A
doi：10.16836/jki.jcuit.2021.02. 018
1数学模型在疾病传播方面的文献概述
126性
由于近年来频发的各类传染疾病，使得当前国际 社会对于借助数学模型来预测传染病传播趋势从而制 定出更加有效的防控手段给予了更多的关注。纵观国 内的研究文献可以发现，将数学建模应用在疾病传播 主要集中在建模工具种类的选取和传染病的影响因素 两个方面。在建模工具种类的选取方面：方乐恒等W通过构 建真实的城市地图来模拟展示城市路网、交通通行区 域、收治医院等真实场景，有效地展示了 COVID-19疫 情发展进程，为未来中国疫情的防控提供了坚实的智 能化体系。严阅等[21通过构建时滞动力学系统模型，在该模型中加人传染病传播的时滞过程，从而可以较 为准确地描述C0VID-19病毒的潜伏周期和整个 的时效周期，为准确预测中国疫情的未来发展趋势，提 供了有效的借鉴和参考。王锐涵等[3]通过将数据分析和建模机理相结合的方法构建了S I S解释模型、BPNN模型以及局部加权线性回归模型来模拟 的传播过程，从而为传染疾病工作的防控提供 了科学依据。李华等W通过数学建模和计算机模型统一整合，分析了手足
口病每年的数量以及接种疫苗 的情况，预测手足口病在2017年的发展趋势，为手足 口病的预测打下了理论基础。
软弱下卧层传染病的影响因素方面：谢丽等[5]在创新扩散视 角下，研究谣言散播对疾病传染的影响，并利用智能体 建模技术进行了仿真实验，研究发现谣言散播不利于 疾病的控制，会造成治理资源的浪费。付强等[6]通过
收
稿
日
期
:2020-10-21构建非线性传染病模型来研究隔离措施对C0V1D-19病情的防控作用，通过研究发现，隔离措施可以加大疫 情的结束程度，对于疫情的防控有着关键性的影响。葛洪磊等[7]从七个维度五种情景模型来研究应急物 资配置对于重大传染病的防控影响，研究结果显示应 急物资配置的空间、信息、物资、供求等对疫情的防控 有着关键性的影响。
总体来看，以上文献对于了解数学建模应用于传 染病防控有着重要的借鉴和参考作用，在新形势下，将 S I R模型应用在疾病传播方面有着重要的研究意义。为此，本文主要借助数学模型来了解传染病的内在传 播机理，由此制定出更佳的防疫政策来抵御疾病传播。
河北大学教育学院2 S IR模型在传染病传播方面的应用
相关领域专家和学者在揭示传染病的传播现象时 常常从医学角度出发，这使得某疾病在某区域传播时，受影响者将表现为一个变化较小的常数。而实际情况 是该数值由于受到众多因素影响将发生很大变化和波 动，由于脱离实际情况，难以得到令人满意的研究。相 继有部分学者将数学模型引人到传染病的研究过程 中，以此来进行分析和模拟，实践结果表明，由此能够 获得更佳的效果，对于之前一些难以解决的问题也慢 慢到了答案。
S IR(s u s c e p ti b le s in fe c tiv e s r e c o v e r e d)是最早的传 染病数学模型，是由K e r m a c k与M c K e n d r i c k共同建
难忘的校园立，整个过程以动力学方法为主导[8]。由该模型可 知，依据人的患病与否大致分为以下三种类别：易感 者（s u s c e p t i b l e s)，在某时刻还尚未染病但其感染风险 较高，这里假设数量为S(£)；染病者（i n f e c t i v e s)，在某
第2期廖富毅：数学建模在疾病传播方面的应用245
时刻已被感染且自身成为了一类传染源，其数量设为 /⑴；恢复者（recovered )，在某时刻得到合理已经 康复，将从染病者中移出，其数量设为若t 时 刻的总人口数量为/V (i )，则上述提到的各类人数量 存在如下关系：
N (t ) = S (t )+I (t )+R (t )
(1)
S IR 模型的建立基于以下3个假设：
(i ) 忽略各类动力因素，如人口的出生、死亡、
流动等。使得人口数量始终保持恒定，即/V (t ) = K 。(ii ) 假设易感者在接触感染者后会被传染。假设 在t 时刻，单位时间内，某环境下易感者总数S («)与一 个病人能传染的易感者数目存在比例系数为的正相 关关系，则被所有病人传染的人数为)SS (t )/(t )。
(iii )
设存在一时刻《，此时恢复者与患病者数量 成正比例，7为当下的比例系数，则单位时间内恢复者 数量为⑴= y /(t )。
基于上述3种假设可得到图1所示的易感者从患 病到恢复的过程框图。
图1易感者从患病到恢复的转化图
S IR 基础模型用微分方程组表示如下：
dS ^
-d t =^s,dR .[d 7=r/
由此解得/= (5。+/。）-S+—In 其中传染病接触
(7 〇〇
数为d
。
y
上述提到的是最原始的s i r 模型，较为简单，缺乏
针对性以及精细化程度低，在此基础上众多学者进行 了更深入的研究，由此得到了多种推广模型，即：若将 动力学因素忽略不计，如出生与死亡等，且传染病不存
在潜伏期，则S R I 模型将被简化为S I 模型，该类模型 适用于患病后几乎无法治愈的情况；而考虑到患者在 治愈后体内将产生抗体，由此不会再感染病，则可建立 S IS 模型，仅代表患病者治愈后获得终身免疫力；而对 于某些疾病人体难以产生抗体，因此患者在康复后仍 存在感染风险，因此只能获得暂时免疫力，由此可建立 SIRS 模型[9]。
若在数学模型建立过程中将传染病潜
伏期也纳入考量范围，则需要在模型中加人感染而未 发病者（Exposed )，由此可建立更复杂的S E IR 或 SEIR S 模型。综合来看，模型涉及的参数量以及其表
现出的复杂程度将受到种动力学、疫苗接种、隔离、 年龄结构等众多因素的影响[1°]。
3数学建模在传染病传播领域未来的
发展趋势
由于近年来频发的各类传染疾病，使得当前国际
社会对于借助数学模型预测传染病传播趋势从而制定 出更加有效的防控手段给予了更多的关注。当前已有 的传染病传播模型多以揭示传染病的普遍传播规律为 主，也出现了较多针对具体疾病建立的专项模型，如麻 疹、疟疾、以及流感等。对各类传染病的传播机 理进行分析研究，发现它们的传播方式各不相同，接触 传染、垂直传染、媒介传染等是最常见的传染方式。数
xor学模型对已有的传染病进行结构分析发现，大多数模 型以常微分方程组的形式出现，由于研究因素的不同 其表现有一定的偏差。以年龄结构模型、扩散项模型 为例，它们分别以一阶偏微分方程组以及二阶偏微分 方程组的形式出现。此外模型基于出生、死亡、患病以 及康复规律的不同还可以被分为线性、非线性、自治、
非自治等多种类型。当前的研究主要围绕上述模型所 表现出的平衡位置、疾病的生存情况以及再生数等多 个方面展开。
前面已经提到人口变动、隔离以及年龄结构等众
多因素均会对传染病的传播造成影响。总体来看，未
来数学模型关于传染病的研究工作主要在以下3个方 面进行：
第一，利用数学建模研究传染病的影响因素逐渐 成为关注点。如将隔离影响、时滞因素、应急物质配 置、信息资源、谣言三步等因素考量在内。
第二，基于多学科交融来构建模型成为主要的研 究方法。目前乃至未来的发展趋势是，基于数学学科、 计算机学科、动力学、物理学科等多种学科的交融来研 究传染病的传播将成为主要的研究方法，多种学科的 应用可以提升研究的准确性和科学性。
第三，开展对于专项疾病的研究将成为研究的主 流，如疯牛病、禽流感、新型冠状病毒、等。模型 越趋向于实际情况，复杂程度将随着越来越近似于真 实情况而明显提高，这使得相关的理论研究也不断面 临新的困难。
3结束语
传染病的传播受到多种因素影响，如人员变化、传
染病人数、潜伏周期、
个体差异以及防控情况等多重因
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素，因此想要弄清它的传播过程非常困难。在设计模 型之初，想要将全部因素都考虑进去这几乎是不可能 的，因此需要分清主次，化繁为简，先建立初始模型，然 后再按照实际情况对其进行修改以及调整，使其逐步 趋于完善。实践表明在传染病的防控工作中，建立的 数学模型发挥了极其重要的作用，它对疾病走向有较 为精确的预测。S IR为最经典的传染病数学模型，当前众多的新模型都是在此基础上发展而来的，它具有 极其重要的意义，希望由此给予当前的疾病防控工作 一定的启发。
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Application of Mathematical Modeling in Disease Transmission
LIAO Fuyi
(College of Applied Mathematics,Chengdu University of Information Technology,Chengdu610225 ,China)
Abstract：Infectious diseases are a type of diseases caused by pathogenic microorganisms invading the human body.Various infectious diseases that occur frequently today,such as epidemic stomach,hepatitis B,tuberculosis,avian influenza, and new coronaviruses that swept the world this year,etc.Human health and daily life and social and economic developm ent pose a great threat.Therefore,it is extremely important to formulate effective infectious disease prevention and control strategies.This article focuses on understanding the internal transmission mechanism of infectious diseases with the help of mathematical models,and hopes that it will be better to formulate better anti-epidemic policies to resist the spread of disease.
2011年华表奖
Keywords：mathematical model；infectious disease model；control of infectious diseases；SIR m odel
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