捕食者—被捕食者、竞争、共生三种模型的参数估计问题 章栋恩
为了说明标题中出现的数学模型的重要性，我在这里首先引用MCM评阅人的一段话。
2009 MCM Judges’ Commentary—Problem B
By Marie Vanisko, Carroll College, Helena, Montana
General Remarks
………..
The Problem and Selected Modeling Approaches
…………
Interesting models were constructed for the transitional phase of the cell phone “takeover.” Some teams considered the spread of cell phones as the spread of a disease and used the
Verhulst model for logistic growth, using the population of the United States as the carrying capacity and estimating the rate of growth of cell phones from published reports on the growth of cell phone use in the United States. Other teams generalized this to an SIR model or used the Lotka Volterra predator‐prey model国际枕头大战日, with cell phones as the predators and landline phones as the prey. A few used the competing species model. The judges looked very favorably upon models for which sufficient rationale was given as to why that model might be appropriate in this circumstance. Interpretation of the parameters and solutions as
they applied to the problem at hand was essential.
因为捕食者—被捕食者、共生、竞争三种模型都属微分方程组建模问题，在美国微积分教科书和数学建模教材中都有研究。因此想比较彻底地解决掉它的参数问题。机理分析的方法和回归分析方法将证明是都很重要的。 我在上一篇文章中谈到了兔子和狼的数量关系的捕食者—被捕食者（Predator-Prey Models）模型： 在这个模型中，第一个方程是描述兔子的。而且根据方程的第一部分
看到假定兔子在没有狼的情况下，数量是按照指数模型增长的。方程中一项是描述被捕食数量的。系数-0.001反映捕食的效率。
可以认为在没有狼时对兔子数量用指数模型也不够准确。因此常常用逻辑斯谛模型代替指数模型，则建立起如下模型（方程是原封不动地从微积分教科书中拿来的）
注意第一个方程的这一部分
就是兔子数量的逻辑斯谛模型。如果对狼的增长率（减少率）也用逻辑斯谛模型，则捕食者—被捕食者模型也可以是这样
（predator‐prey model）
这里的系数都是正的（再次问：之间有何关系？答：等于 乘以体x的最大承载量，a与b也有类似关系）。如果系数已知，方程组需要用Matlab数值求解。关于稳定性分析，则需要在相平面内进行。这里就不讨论了。
现在的问题是，上一篇文章中使用的回归求参数的方法在这里是否适用？我也作了实验验证，结论是——照搬是不行的（这就是数学建模魅力所在！）。可能的原因是参数增加以后，需要的数据较多，而在实际建模问题中这是不现实的。也可能是多了参数以后，模型会变得不可识别。但只要通过模型的机理分析，确定6个参数中的2个（比如），余下的参数就可以回归了。当然，如果你能从机理上分析得到全部6个参数也是好的（生物学家常常这样）。总之，把机理分析与回归结合起来！有时还需要对个别参数在可能的区间上用小步长搜索，再与数据对照，选择得到最合理的模型参数。
为了说明机理分析确定参数，以我在最优化一讲中的一个习题为例：
生态学家用下面的模型来反映两个竞争的种的数量增长过程
（competing species model一滴清）
其中变量x，y为每个种的数量（如果去掉方程组右端的最后项，则体数量都按逻辑斯谛增长）。参数是每个种的内稟增长率；童年的发现教案为没有竞争时环境资源可允许的最大可生存的种数量；为竞争的影响。通过对蓝鲸和长须鲸的数量的研究，这些参数的值如下（时间t以年为单位）：
蓝鲸 长须鲸
0.05 0.08
150 000 400 000
………
小雪花的泪显然，蓝鲸—长须鲸模型中，如果没有对方的存在，它们各自的数量是按照逻辑斯谛模型增长的。这模型与捕食者—被捕食者模型的区别在于方程右端各项系数前面的正负号！
像柑桔树上两种寄生虫的数量，可以用上面的竞争（不相容）模型。
下面介绍另一个模型——两个种共生（互惠共生）模型。例如：开花植物和能够授粉的昆虫的种数量模型为
（Mutualism Model）
同样是系数的正负号决定了模型的差别。
现在我们回到宠物狗——流浪狗模型。按照机理分析，其数量与时间的关系应该满足的微分方程组是（与互惠共生模型略有不同） 或者
这里的系数也都是正的。从方程组右端分析，在没有对方影响的情况下，宠物狗与流浪狗都按照逻辑斯谛模型增长。而右端最后一项表示了宠物狗、流浪狗向着对方的转化（不是xy相乘项，而是单独的x项与y项。因此是非接触性的）。系数表示转化的速率。现在有了每隔3个月得到的宠物狗与流浪狗数据，如果仅仅用这些数据用回归分析去估计这6个参数是比较粗糙的，比较靠不住的。可以用机理分析首先确定参数。那么参数苏拉 沙玛在这里的意义是什么呢？
不复杂，是一个月内流浪狗被收养，成为宠物狗的数量。因此是被收养流的比率（当月被收养流浪狗数量/当月流浪狗总数）。相似地，是被抛弃的宠物狗（成为流浪狗）的比率。建模小组如果通过调研（或查文献）得到这两个比率，从而确定这两个参数的值，再通过回归分析得到其他四个参数的值，那么就可以说做得更好了。实际上，我们2010 XJTLU-MCM建模竞赛的A题也是开放的。解建模题，有时候数据需要补充。问题的求解，有时需要做出一些必要的假设。参数的机理分析怎么做？——希望大家来讨论。
SIR模型也是我们应该掌握的模型，有关资料已经发给大家了，其中参数估计也是很关键的。估计参数的方法也是类似的。希望大家重新读读“The SIR Model for Spread of Disease”，我把它重新发给大家。
巴格西 下载 2011/1/20
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议