(1) 若s 0>1/σ，则i (t)先增加,s=1/α处最大，然后减少并趋于零;s(t)单调减少至s ∞. (2) 若s 0<1/σ, 则i(t)单调减少并趋于零, s(t)单调减少至s ∞. 解：SIR 模型(14)式可写作d i /d t =i μ(1-s σ), d s /d t =-λsi .由后一方程知d s /d t <0, s(t)单调减少.
(1) 若s 0>1/σ，当1/σ<s< s 0时, d i /d t >0, i (t)增加；当s=1/σ时, d i /d t =0, i (t)达到最大
值i
m ；当
s<1/σ时, d i /d t <0, i (t)减少且∞i =0((18)式).
(2) 若s 0<1/σ, d i /d t <0, i (t)<0, i (t)单调减少至零.
米尔斯海默3. 在5.2节经济增长模型中，为了适用于不同的对象可将产量函数Q(t)折算成现金，仍用Q(t)表示.考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为p(t)(设p(0)=1)，则产品的表面价值y(t)`实际价值Q(t)和物价指数p(t)之间满足y(t)= Q(t) p(t).
(1)导出y(t), Q(t), p(t)的相对增长率之间的关系，并作出解释.
国际比较法
(2)设雇佣工人数目为L(t)，每个工人工资)(t ω，企业的利润简化为从产品的收入y(t)中扣除工人工资和固定成本.利用道格拉斯生产函数讨论，企业应雇佣多少工人能使利润最大. 解：(1)由y(t)= Q(t) p(t)可得y y /=Q Q /+p p /，即产品的表面价值增长率等于实际价值增长率与价格指数增长率之和.
(2)若固定成本为c(t)，则企业利润为R(t)= y(t) – L(t))(t ω- c(t).因为y(t)= Q(t) p(t), Q(t)=aL r
(t)K
城市生活2008r
-1(t)，代入R(t)后表为)(t ω的函数:
J[)(t ω]=aL
r
(t)K
r
-1(t) p(t) - L(t))(t ω-c(t)，利用,0/=∂∂ωJ 可得到最优解
*
ω
(t)=(rap(t)/)(t ω)
r
-1/1K(t)，并且可以验证2
∂J/2
ω
∂*
ω<0,(r<1),J 在*
ω
取极大值.
4、在5.3节正规战争模型(3)中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a/b=4，初始兵力 与 相同。 （1）问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定。 （2）若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。
解：（1）由5.3节图11，乙方取胜时的剩余兵力为(
)10
y y
t =
。要确定
乙方的取胜时间
1
t
，需求解方程（3），可得
(
)00[((2x t y
y
x x e
=-+
。令 ()1
0x t =，且由
a/b=4可算出
1
ln34b t
=，1t 与甲方战斗有效系数b 成反比。
（2）在这种情况下，模型（3）的第1个方程改为x ay r =-+，双轨线2
2
a
ry b k y
x --=，
2
2
00
k a ry b y x =-- ，5.3节图11中的轨线上移r/2a ，乙方取胜的条件为k>0，即
2
2
2200()24r b a a a
r y x ->+ 。
8、在55节香烟过滤嘴模型中， （1）设M= 800mg ，
1
l
＝80mm ，2
l
＝ 20mm ，b =0.02 ，β = 0.08， ν ＝50mm/s
α =0.3 ，Q 和1
2
Q Q
。
（2）若有一支不带过滤嘴的香烟，参数同上。比较全部吸完与只吸到 1
l
处的情况下，
人体吸入的毒物量的区别。 解：（1）230Q ≈毫克，
1
2
0.976Q Q
≈。
（2）全部吸完与只吸到 1
l 处进入人体毒物量之比为1
1
1.25bl
abl v
v b林产化学与工业
ab
v v
l l e e e e
-≈-。
11、对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型。
（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广技术与以采用新技术的人数成正比，推广是无限的。
（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术的人数的减少而降低。 （3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用。
解：（1）指数模型
x dt dx齐白石的人格
λ= （2) logistic 模型)(x N ax dt
dx
-=，N 为总人数。 （3) 广告等媒介在早期作用大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在
模型（2）的基础上，有
))((x N b ax dt
dx
-+=。 （2）和（3）区别见下图
14.在鱼塘中投放0n 尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加.
（1）设尾数n(t)的（相对）减少率为常树，由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比.分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解.
(2) 用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量 .
n n 表示，记作E ，即单位时间捕获量是En （t ）.问如何选择T 和E ，使从T 开始的捕获
量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
最大
.
解：（1）尾数n(t)满足.
(0)n n λλ=->，0)0(n n =得t e n n λ-=0)0(，每尾鱼重()t ω满足
.
23
ωαβωω=-，不妨近视设(0)0ω=，得()
3
3
3
()1t t e βωαβ-=⎛⎫- ⎪
⎝⎭
.
(2) 设t=T 时开始捕捞，且单位捕捞率为E ，则t T ≥时有().
n E n λ=-+，因此得
()()
0()T
E t T n t n e e
λλ--+-=，单位时间捕捞鱼的尾数为En(t), 每尾鱼重()t ω，所以从T 开始
的总捕捞量是()()3
3
00
()()31T
E T
y t En t dt E d T e n e
e
λλτ
β
ωτταβ∞
∞
--+-=
=+⎛⎫⎡
⎤-⎰
⎰
⎪⎢⎥⎣
⎦
⎝⎭，
问题为λ，E 使y 最大，可用数值法求解。
19.药物动力学中的Michaelis-Menton 模型为dx kx
dt a x
=-+（k,a>0）,x(t)表示人体内药物在时刻t 的浓度.研究这个方程的解的性质。
（1）对于很多药物（如）a 比 x(t)大得多，Michaelis-Menton 方程及其解如何简化 。
（2）对于一些药物（如酒精），x(t)比a 大得多，Michaelis-Menton 方程及其解如何简化 。
菲律宾与中国解：对于(,0)dx kx
k a dt a x
=->+，可以通过.x ~的图形作出x~t 的图形，得到模型的性质。 （1）若a 比x(t)大得多，则方程可简化为.
/x kx a =-，解为负指数函数。 （2）若x(t)比a 大得多，则方程可简化为.
x k =-，解为线性函数。
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