摘要
本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人中发病率的俩种可靠方法。 一、问题重述
近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。
二、问题分析
甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。 美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量：
时间 | 确诊（包括死亡病例） | 死亡（累计） |
4月23日 | 5 | 0 |
4月24日 | 8 | 0 |
4月25日 | 11 | 0 |
4月26日 | 20 | 0 |
| komda 4月27日 | 40 | 0 |
4月28日 | 64 | 0 |
4月29日 | 91 | 0 |
4月30日 | 109 | 1 |
5月1日 | 141 | 1 |
5月2日 | 160 | 1 |
5月3日 | 226 | 1 |
5月4日 | 279 | 1 |
5月5日 | 403 | 1 |
5月6日 | 642 | 2 |
5月7日 | 896 | 2 |
5月8日 | landsat1639 | 2 |
5月9日 | 2254 | 2 |
5月10日 | 2532 | 3 |
5月11日 | 2600 | 3 |
| | |
5月12日 | 3009 | 3 |
5月13日 | 3352 | 4 |
5月14日 | 4298 | 4 |
5月15日 | 4714 | 4北京麋鹿生态实验中心 |
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三、建立模型
（一）、不考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设
（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人分为易感染者S，发病人I和退出人R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。
（2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为。
病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为爱情急诊室。治愈
的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。
（3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。
2、模型构成
易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为，个发病者平均每天能使个易感者成为病毒潜伏者。所以有：
（1）
单位时间内退出者的变化等于发病人的减少，即
（2）
发病人的变化等于易感人转入的数量，即
（3）
记初始时刻的健康者和病人的比例分别为、（不妨设=0）。
3、模型求解
方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 ，于是可以求出方程的解为：
（4）
下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况：
a、不论初始条件、如何，病人最终将消失，即。
b、最终未被感染者的健康者的比例是，是方程
在内的根。
C、若中国检验检疫，则开始有：先增加。当时，达到最大值，然后减小且趋于零，则单调减小至。
d、若，则单调减小至5，则单调减小至。
我们发现人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越高，于是越小，所以提高卫生水平和医疗水平有利于传染病的蔓延。
结合美国的具体情况和假设条件进行分析：
根据所得的数据画出美国患病人数变化曲线和治愈人数变化曲线：
根据图形来看，甲型h1n1流感在美国呈现出蔓延的形式，即现在属于
的情况，即 。由假设条件可知的取值范围在之间。现在我们取=1.6，则表示，即美国每天平均治愈的人数最多为1.6人，这与美国疾病预防与控制中心所发布的数据不同。如果美国平均每天治愈1.6个人的话，那么从4月23日期，治愈的总人数为人，这与实际的情况相差甚远。产生这个问题的原因有以下几个方面：
第一：对每个病人每天有效接触的平均人数估计值偏小。不是简单的成正比关系，应该是成多次方关系，甚至是指数关系。
第二：美国疾病预防与控制中心所得到的数据具有滞后性。
第三：在美国不一定成立。可以把那些身体强壮的、注意自己个人卫生的人排除在外。
（二）、考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设
（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人分为易感染者S，病毒潜伏人E,发病人I和退出人R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t内这三类人在总人数中所占比例分别为。
（2）、每个病人每天有效接触的平均人数为，称为日接触率，当已感染者与易感染者有效接触时，使易感染者变为病毒潜伏人，病毒潜伏人过一段时间再转换成发病人，发病人被治愈。
2、模型构成
易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为，血凝试验个发病者平均每天能使个易感者成为病毒潜伏者。
所以有 化简得：
病毒潜伏人的变化等于易感人转入数量减去转化为发病人的数量，即
其中表示潜伏期日发病率，即每个潜伏者平均有效发病的人数。
单位时间内退出者的变化等于发病人的减少，即
其中表示日退出率，即每个病人平均有效病情结束的人数。
发病人的变化等于潜伏人转入的数量，即
初始时刻易感染者，已感染者与病愈免疫者的比例分别是
3、模型求解
由于潜伏期的人数量不能确定，所以可视为是易感人的一部分，因此求解过程跟忽略潜伏期的一样。
四、模型的改进
就如何确定日接触率的值。就如何确定日接触率可以进行改进，根据以前的流感疫情治愈率，加权平均得到值，而不是简单的是一个正比关系。病毒在人中的传播刚开始阶段一个有一个爆发阶段，该阶段的日接触率很大，可设为是一个冲激变量。
参考文献：
[1]姜启源 谢金星 叶俊 数学建模（第四版）高等教育出版社
[2]数据来源：美国疾病预防控制中心
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