摘要
长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析被感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。太阳赤纬
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。在这里我采用SIR模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。
本人最后用SARS疫情的实际数据和理论曲线做了对比，对比结果表明本文中的模型可以用来解释SRAS疫情的传播规律。
关键词：传染病，SIR模型，SRAS疫情
1．选题背景
随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到有效的控制，但是在世界的某些地区，特别是贫穷的发展中国家，还不时出现传染病流行的情况，与次同时，一些鲜为人知的严重传染病则跨国越界在既包括发达国家也包括发展中国家的更大范围内蔓延。一直以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析被感人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等等，有着重要的作用。
以严重急性呼吸综合征——SARS为例。从2002年11月16日在中国广东佛山市首例发生家族聚集性发病至2003年5月，疾病呈迅速蔓延趋势。目前全世界30多个国家和 地区有病例报告。中国大陆、香港和台湾发病人数占全球的90%以上。世界卫生组织（WHO）总干事Brundtlard博士指出，SARS已威胁到全球人类的健康。根据医疗卫生部门提供的可靠数据统计资料，建立模型来描述SARS病毒的宏观传播过程，有助于从量的方面来分析被感染人数的变化趋势，掌握古镇文化公园
SARS的流行规律，从而及时对疫情进行控制，提供科学的数据， 认清传染的基本要素，为防病提供必要的依据 。
如果对SARS采取严密的公共卫生防治措施，这种新型疾病是能够得到控制的。而采取这种措施需要有一个预见性，这就需要人们通过模型的建立对SARS的发病周期、发病人数的变化趋势、疑似人数的变化趋势等来分析和预测。并为政府和医疗卫生部门进行决策和资料调配提供直接的服务，为相关的研究部门提供科学的数据。SARS作为新发传染病之一，虽有着其特殊性，但也符合一般传染病的传播规律。从SARS对人民身体健康造成严重危害可以看出及时对传染病建立模型并进行分析和预测对人类的生命健康有着至关重要的作用。
2．问题分析
传染源
目前已知患者是本病的主要传染源。在潜伏期既有传染性，症状期传染性最强，极少数患者刚有症状时即有传染性，少数“超级传染者”可感染数人至数十人。恢复期粪便中仍检出病毒，此时是否有传染性，仍待研究。共同暴露人中，部分人不发病。
传播途径
密切接触是主要传播途径。以近距离飞沫传播和直接接触呼吸道分泌物、体液传播多见。气溶胶传播，即通过空气污染物气溶胶颗粒这一载体在空气中作中距离传播，是经空气传播的另一种方式，严重流行疫区的医院和个别社区爆发即通过该途径传播。
易感人
人普遍易感。SARS具有显著的家庭和职业聚集特征,主要流行于人口密度集中的大城市。医务人员、患者家人、与病人有社会关系的人为高危人。早期，医务人员的发病数多、比例高，随着医院内感染控制措施的落实，医务人员发病明显减少。SARS 的传播模式：（1）医护人员通过诊疗、护理病人被感染。特别是气管插管、口腔检查时容易感染。（2）家庭成员通过探视、护理病人或共同生活被感染。（3）因与病人住同一病房被传染。（4）个别也有未明确直接接触患者而发病。
潜伏期
潜伏期2～10天。
永久模板
3．基本假设
针对本问题，提出以下合理假设：
1．地区的总人口视为不变量，记为N，发病者病情确定以后立即采取隔离措施，治愈的病人具有免疫力。人分为四类：易感染者E（t）、潜伏期感染者Q（t）、发病期感染者F（t）、隔离及康复者K（t）；
2．该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。潜伏期和发病期的感染者都有传染力，单位时间（一天）内一个潜伏期和发病期的感染者能传播的感染率是常数；
3．根据临床经验，治愈的病人有免疫能力，即在所传染的人当中不考虑已治愈的人是否被再次被传播。但是治愈的人数占该地区的总人数是绝对的少数，治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数;
4．感染者有潜伏期为5天，感染轻微者可以通过自身免疫康复，康复率为；日发病率为；发病被确诊，即被隔离，日确诊率为；SARS对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感染率是一样的；
4．模型建立及简化
4．1完整模型建立
根据基本假设，可以得到以下四室模型图：
图1 传染模型图
则可以建立以下数学模型：
（1）
初始条件为：成立。
模型（1）即为SRAS传染的全面模型。可以利用MATLAB数值求解方法对其做进一步分析。
4．2模型简化
但事实上，根据临床情况可以知道，SRAS的潜伏期的感染率相对于发病期的感染率说是很小的，可以忽略不计。同时感染者在潜伏期过后的自身免疫康复率几乎为零，而发病率却很高。因此在进一步研究的过程中完全可以简化上述模型（1）。为此做出如下简化假设：
1．发病期感染者的传染率为常数为，潜伏期的感染者传染率为零；
2．潜伏期过后，感染者必然发病，即原假设中的发病率为1；
3．感染者发病后的日确诊率为常数，用表示；
4．考虑感染者潜伏期的存在的时间延迟效果，潜伏期为5天。
根据上述假设，图1可以简化为下图：
radius协议
图2 感染简化模型图
此时，传染模型则化简为如下形式：
（2）
初始条件为：成立。模型（2）就是经过简化的传染模型。可以利用MATLAB数值求解方法对其做进一步分析。
经过分析，不难得出由于潜伏期的唯一作用就是使感染者的传染性有一个时间延迟。这个时间延迟对于每个病人而言是不同的，有的短有的长。如果忽略这个时间延迟，在模型（2）中的潜伏期人数激光对抗就完全变成了一个冗余的项，可以忽略掉。这样原模型（1）可以进一步简化为更简单的SIR模型。如下图：
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