第21卷第15期
系统仿真学报©V ol. 21 No. 15 2009年8月Journal of System Simulation Aug., 2009 动态网络中基于SIS模型疾病传播的建模与仿真研究 夏承遗1,2, 刘忠信1, 陈增强1, 袁著祉1
（1.南开大学自动化系，天津 300071；2.天津理工大学计算机科学与技术学院，天津 300191）
摘要：基于二维规则晶格，提出一个考虑个体运动的改进的SIS(Susceptible-Infected- Susceptible) 传染模型来研究疾病在动态网络结构中的传播行为。利用平均场理论分析得到了改进的SIS模型的
传染临界值，并通过大量的数值仿真加以验证。结果表明有效传播临界速率与晶格中体密度密切
相关，并且个体运动也会显著影响疾病传播行为。最后，基于分析和仿真的结果，提出一些可行的
控制策略来抑制疾病在运动体中的传播。
关键词：动态网络；疾病传播；平均场理论；SIS模型；传染临界值
中图分类号：O231.5 文献标识码：A 文章编号：1004-731X (2009) 15-4815-03
Modeling and Simulation of Disease Propagation
Based on SIS model in Dynamical Networks
XIA Cheng-yi1,2, LIU Zhong-xin1, CHEN Zeng-qiang1, YUAN Zhu-zhi1
(1. Department of Automation, Nankai University, Tianjin 300071, China;
2. School of Computer Science and Technology, Tianjin University of Technology, Tianjin 200030, China)
Abstract: Based on two-dimensional (2D) regular lattice, an improved SIS epidemic model with individual’s motion was presented to investigate the disease propagation in dynamical networks. The critical threshold of this new SIS model was acquired by the mean-field theory and verified by the large-scale numerical simulations. The results indicate that the effective critical propagation rate is closely related with the density of mobile individuals, and the motion also remarkably influences the epidemic spreading behavior. At last, some feasible control strategies based on the analytical and simulation results were proposed to prevent from the epidemics within the moving populations.
Key words: dynamical networks; disease propagation; mean-field theory; SIS model; epidemic critica
l threshold
引言东湖电影院
许多现实的应用，如传染性疾病在人中的扩散[1]、计算机病毒在因特网上的泛滥[2]，谣言和社会舆论等在社会上的传播[3-4]，都可以归结为网络环境中的传播行为。当前，借用传统的传染病动力学的理论与方法来研究复杂系统上的传播行为，是一个多学科交叉的热点研究问题。尤其是经典的SIS和SIR(Susceptible-Infected-Removed)传播模型受到了广泛的注意，被应用到各种复杂拓扑系统中[5]。其中，Pastor-Satorras等人研究了Barabasi-Albert(BA)无尺度网络模型[6]上的传播行为，发现当网络规模无限增大时，流行病传播的临界阈值趋于0，即缺乏临界传播阈值，改变了传统传染病动力学研究中许多固有的结论，激发了大量的相关研究[5, 7]。
但是，当前大部分研究都是假定网络结构保持不变，而真实网络中的拓扑结构通常会随时间而动态演化。如计算机病毒在无线通信网络中传播时，由于无线终端设备（智能手机、笔记本电脑等）的不断移动造成传播网络的动态变化；
收稿日期：2008-01-23 修回日期：2008-07-12
基金项目：国家自然科学基金(60574036, 60774088)；高等学校博士点科研基金(20050055013)；教
育部科技重点项目(107024)；教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET)；天津市高校科技发展基金(20071306)。
作者简介：夏承遗(1976-)，男，博士生，讲师，研究方向为复杂网络理论及应用；刘忠信(1975-)，男，博士，副教授，研究方向为控制理论与应用；陈增强(1964-)，男，教授，博导，研究方向为智能预测控制，混沌系统与复杂网络；袁著祉(1937-)，男，教授，博导。研究方向为自适应控制，智能控制，混沌系统与复杂网络。传染病爆发时，人的移动也会改变原来的拓扑结构；此外，
在面对疾病传播时，一些主动的控制策略也影响网络的拓扑特性。因而研究动态网络中的流行病传播行为，对于深刻理解网络上的传染和传播行为具有重要的现实意义。
文献[8-9]研究了在规则晶格中，允许个体在局部邻居间移动的情况下，SIS和SIR模型的传播行为和传染临界特性。而文献[10]在此基础上，引入长程移动，允许个体以一个特定的概率移动到晶格的任意位置，模拟个体在社会系统中的运动以及无线终端设备在通信网络中移动，从而使得疾病在系统中的传播行为更加符合真实情况。但是，文献[10]在研究个体运动对SIS模型传播行为的影响时，假定易感个体只要与感染者接触就被感染，即感染速率 1.0
β=，染病后在有限时间步τ内可被治愈。本文基于标准的SIS传染模型，其中感染速率β和治愈速率γ可在[0，1.0]内连续变化；利用平均场(Mean-field)理论分析得到了体移动情况下流行病传播的临界阈值，并通过大量的数值仿真加以验证。结果表明，临界传播速率与移动个体的密度密切相关，与传播速率、治愈速率也相关。此外，长程随机运动也会大大促进流行病的爆发。
1 动态网络中SIS疾病传播模型
1.1 个体运动模型
如图1所示，移动个体（N个）可在一个二维规则晶格(L L
×)上随机运动。在每个时间单位(tΔ)内，个体以概率
2009年8月 系 统 仿
真 学 报 Aug., 2009
(1p −)作局部运动，即移动到8个直接邻居位置(即Moore 邻域)之一；也可以概率p 作长程随机运动，即移到晶格中的任意一个位置，如果指定的位置未被其它个体占用。
图1 个体运动模型
当0p =时，个体只能作局部运动，移动到其8个直接邻居位置；当1p =时，个体运动不受限制，可以移动到晶格中任意指定的位置。显然这是两种极端情况，分别对应空间关联和空间无关的情形。当01p <<；代表个体除了做局部运动外，还可以随机移动到系统的任意位置，符合个体的真实运动特性。因此，基于该运动模型上的疾病的传播行为，能真实地反应传染性疾病在社会网络中的扩散以及计算机病毒在移动通信网络中的传播。
1.2 改进的SIS 传播模型
在标准SIS 传播模型中，假定个体处于两种状态：健康或易感态（S ）和感染态（I ）
。健康个体如果与感染个体接触，以速率β被感染；而染病个体会以速率γ被治愈，回到易感态，且可能再次被感染。假定系统中个体总数（N ）保持恒定，用()S t 和()I t 分别代表健康个体，染病个体所占的比例，则SIS 模型可用方程组（1）来描述：
()()()()()
()()1I t t I t S t I t I t S t I t βγ+Δ−=−⎧⎨
+=⎩ (1) 但上述模型没有考虑个体的运动规则和个体的拓扑关系，因而不能描述体在运动条件下的传播行为。当个体在晶格上完全随机运动（1p =）时，我们可以用平均场理论近似分析，传播过程可
用下列方程组来表征：
8()()()()[1(1())]
()()1
I t t I t I t S t I t S t I t γβδ+Δ−=−+−−⎧⎨
+=⎩ (2) 其中，β表示感染速率，γ表示治愈速率，2
N
L δ=
为移动体密度，t Δ为感染时间步。方程组（2）表示，感染密度
微核试验
的增加，等于新增的感染者的比例、减去感染后被治愈的比例。在临界点附近，()1I t ，对方程组（2）的第一个方程
右侧进行一阶泰勒展开，得
()()()()[1(18())]I t t I t I t S t I t γβδ+Δ≈−+−− (3)
将()1()S t I t =−代入方程（3），
()()[1]8()[1()]I t t I t I t I t γβδ+Δ≈−+− (4)
由于()1I t ，忽略2(())O I t 项，可得
()()(18)I t t I t γβδ+Δ≈−+ (5)
从而，要使疾病流行则必须满足，
181γβδ−+> (6) 令β
λγ
=
为有效传播速率，则有 1
8λδ
>
日本海啸预警
(7) 所以在完全随机移动情况下，疾病感染的临界有效传播国际贸易术语解释通则2010
速率C λ为
1
8C λδ
= (8) 因而，当C λλ>，疾病总可以在网络中流行；当C λλ<，有限时间步后，疾病感染比例为0，即停止传播。显然，临界有效传播速率与晶格中移动个体的密度密切相关：（1）当网络中体密度一定时，C λ保持不变，
因此当β越大或γ越小，导致C λλ>，使得疾病越容易传播；
（2）当有效传播速率固定时，δ越高，C λ就越低，从而越容易满足C λλ>，即疾病越容易在网络中流行开来。
此外，方程（7）和（8）是在个体做完全随机运动条件下得到的，而01p <<；时的传播行为介于个体仅做完全局部运动和完全随机运动情况下的传播行为之间，用解析方法太复杂，主要通过数值仿真加以研究。
2 数值仿真结果
由于上述分析在平均场近似条件下得到的，必须通过大量的数值仿真来加以验证，尤其是01p <<；时只能通过仿真结果加以分析。本节首先介绍数值仿真的算法步骤；然后给出各种不同条件下的仿真结果；最后，基于平均场分析和仿真结果，提出一些可行的疾病预防与控制的策略。
2.1 仿真算法 (1) 生成L L ×二维晶格，并满足周期边界条件。
(2) 将N 个移动个体随机分配到上述晶格中。 (3) 在每个时间步内，所有个体以概率p 执行长程运动、以概率1p −执行局部运动。
(4) 在每个时间步内，按照方程组（2）进行SIS 模型感
染迭代。 (5) 到达指定的时间步，仿真结束；否则转step （3）。 2.2 仿真结果
基于上述仿真算法，我们分别研究不同的感染速率、治愈速率和体密度等对SIS 传染过程的影响，
以及长程随机运动对疾病传播行为的影响。下面所有仿真结果都是假定
100L =，体中初始感染比例为0.1（(0)0.1I =），并且所有结果是100次仿真实验的平均结果。 图2
假定个体可以作完全随机运动（即 1.0p =），分别给出了不同的感染速率、治愈速率和体密度对SIS 传染过程的影响。图2(a)表示在体密度和治愈速率固定条件下，不同的感染速率对SIS 传播行为的影响。其中，0.1δ=，
2009年8月 夏承遗，等：动态网络中基于SIS 模型疾病传播的建模与仿真研究 Aug., 2009
0.05γ=，而感染速率β分别为0.05，0.1和0.2，对应图中从
下到上三条曲线。显然，临界有效传播速率为1
1.258C λδ线圈骨架
=
=，
三种感染速率下的有效传播速率λ分别为1、2和4，所以 当0.05β=时，C λλ<，感染节点的比例从初始值0.1开始逐渐下降到0，即无病状态；而当0.1β=和0.2β=时，有
C λλ>，感染节点的比例从初始值0.1开始逐渐增加，最终
趋于一个稳态值，即地方病状态。而在图2
（b ）中，0.1δ=，0.1β=，而治愈速率γ分别为0.1，0.05和0.025，因而前
一组参数条件下，疾病不会流行开来，而后两种情况下疾病会大规模传播。图2（c ）给出了0.1β=、0.05γ=，个体密度δ分别为0.05、0.1和0.2时的传播行为。此时有效传播速率固定为2λ=，根据方程（8）
，临界传播速率C λ分别为2.5、1.25和0.625，所以在前一组参数条件下，疾病不会流行，而后两组参数下，疾病能够大规模传播开来。从图2可以看到，数值仿真结果与方程（7）和（8）的解析结果完全一致。
一般地，个体不会只做局部运动，也不会完全做长程随机运动，因而有必要研究个体只以较小的概率（01p <<）做长程运动对SIS 传播过程的影响。
图3给出疾病在超临界条件（C λλ>）下，运动参数p 对SIS 传染过程的影响。
在图3中，移动个体总数300N =，初始感染比例(0)0.1I =，
图2 不同参数对SIS 传播过程的影响
感染速率 1.0β=，而治愈速率0.05γ=。其中图3(a)表示个体只能做局部运动，即0p =，约400步后感染节点的比例才稳定下来，而且稳态感染比例为0.325；图3(b)表示允许个体以很小的概率作长程移动(0.032p =)，约160步后感染节点的比例即可稳定，且稳态感染比例为1/2。图3(c)表示允许个体自由随机运动，即1p =，大概60步后就稳定下来，而稳态感染比例为0.745。结果表明，p 越大，动态感染过程就越快、稳态感染比例也越大，即疾病越容易传播。
图3 长程运动对SIS 传播过程的影响
2.3 控制移动体中的疾病传播
当前的理论分析和仿真研究对于预防与控制传染性疾病在社会接触网络上的传播、计算机病毒在移动通信网络上的扩散提供一些有意义的策略和理论指导。首先，从传染病学的角度出发，我们应该积极提高医疗卫生水平，降低疾病的传染性、提高染病个体的治愈率，从而减缓疾病传播的动态传染过程、并减小稳态感染比例。其次，从传播网络的角度来看，在出现流行病时，应当限制个体的运动、尤其是长程随机运动，通过减小个体移动性来抑制疾病传播和流行。
3 结论
本文提出一个改进的SIS 传播模型，考虑体在网络中不断移动对流行病传播的影响。基于平均场理
论，给出个体在晶格中执行完全随机运动时，感染传播的临界速率。然后，通过大量的数值仿真，验证平均场分析的正确性，并研究了不同的传播速率、感染速率、体密度等对传播行为的影响。同时，我们研究还发现，长程随机运动的概率对传播行为有显著的影响。基于平均场理论和数值仿真结果表明改进的、
考虑个体运动的传播模型更能反应真实的疾病传播行为。最后，基于理论分析和数值结果，提出一些抑制病毒传播的一些直观控制策略，为预防和控制流行病的传播提供理论指导。
参考文献：
[1]
J D Murray. Mathematical Biology: (I) An Introduction [M]. Berlin, Germany: Springer Verlag, 2003.
l (t )
t: timestep 0 200 400 600 800 1000
0.80.60.40.2
(a) δ=0.1 γ=0.05
β=0.05
β=0.1 β=0.2
γ=0.1 γ=0.05 γ=0.025
t: timestep 0 200 400 600 800 1000
0.80.60.40.2
l (t )
(b) δ=0.1 β=0.1
t: timestep 0 200 400 600 800 1000
0.80.60.40.2
l (t )
(c) δ=0.05
δ=0.1 δ=0.2
β=0.1 γ=0.05
(a) p=0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
10.5
i (t ),s (t ) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000(b) p=0.032
1
中国期刊全文数据库0.5
i (t ),s (t )
i(t)s(t)
i (t ),s (t ) 10.50
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(c) p=1
t: timestep
2009年8月系统仿真学报 Aug., 2009
(b) 条件2
图5 系统运行图
进行统计，并且可以得到任意延误航班的期望离港/进港延误。因此，如果使用该系统对某航空公司某时间段的航班计划进行分析，可以有效的对航班的延误情况进行预测，并且在航班发生延误的情况下，该系统可以分析航班的延误波及情况，帮助航空公司做出及时准确的处理。 4 结论
本文提出一种基于贝叶斯网络的航班延误预测与波及分析模型，该模型可以对航班是否发生延误及其延误级别进行概率性预测，并且可以方便的对产生航班延误的原因进行定位，准确的分析航班延误产生的波及情况。从而，使得航空公司对可能发生的延误提前采取措施进行应对，以避免延误的发生或者减小延误造成的负面影响及其后续波及。本文实现了该模型，并以某机场航班时刻表为例说明了该模型的可行性及其实用价值。在进一步的研究中，重点进行航班计划时间、航班实际延误时间、预测延误时间的比较，进而分析航班实际延误产生的原因，从而判断模型所定位的航班延误原因的正确率。参考文献：
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豫公网安备41160202000603
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