第39卷第2期 注 為 科 修
Vol. 39 No. 22021 年 4 月
JIANGXI SCIENCE
Apr. 2021
doi ：10.13990/j. "'1001 -3679.2021.02.001
BP 神经网络算法
胡军文，阮周生*
*收稿日期：2021 -01 -21；修订日期：2021 -02-22
作者简介：胡军文(1994—)，男，硕士研究生，从事微分方程正反问题理论与算法研究。基金项目：国家自然科学基金项目(12061008)；江西省自然科学基金(20202BABL201004)。
*通信作者：阮周生(1980—)，男，博士，副教授，主要从事偏微分方程正反问题的算法与理论研究。E - mail : zhs-
hruan@ecit. cn o
(东华理工大学理学院,330013，南昌)
摘要：研究了一类修正SIR 传染病模型的参数识别问题，给出了参数识别问题的唯一性结论，并利用BP 神经
网络算法对参数识别问题进行数值求解，通过数值算例说明了该反演算法的可行性。
关键词：SIR 模型；唯一性；BP 神经网络；参数反演中图分类号:0242. 1
文献标识码:A 文章编号:1001 -3679(2021)02 -187 -05
Application of the BP Neural Network Algorithm
for the Parameters Identification of the Modified SIR Model
HU Junwen , RUAN Zhoushen'
(College of Science , East China University of Technology, 330013, Nanchang, PRC)
Abstrach :The parameter identification problem for a ktnd of modified SIRmodeC is considered. The uniqueness of the reconstaiction problem is prove , and the BP neurai neteork algorithm is proposed
te solve the identification probiem. The numerical exampie ts tested te show the efficiency of the in version algorithm.
Key words : SIR model ； uniqueness ； BP neurai network ； parameteo identification
0引言
SIR ( Susceptibie Infected Recovered )模型是 Keoakr 和Mckendrick 20世纪利用非线性动力学
方法建立的传染病数学模型，该模型及其修改模
型已经被广大学者研究并用于不同传染疾病的预
测与控制问题，包括目前正肆虐全球的新型冠状
病毒传染的预测问题。文献［1］利用改进的SIR 模型方程和龙格库塔数值方法仿真了 4类人所
占比例随时间变化的关系，对新冠肺炎疫情的传
播规律进行预测。文献［2-3］利用SIR 模型分
析与预测了 2003年的非典型肺炎发展情况。文
献［4］利用SIR 模型基于官方数据和传染病动力
学分析了不同强度防控措施对疾病控制结局的影
响。文献［5］对SIR 模型进行了修正，使用易感 再生数、当日感染率和潜伏感染率来求解病毒演 化动力学方程，研究了感染人数的变化趋势。文
献［6］基于SIR 模型和武汉新型冠状病毒感染者
的数据，利用最小二乘法估计了 SIR 模型的参数,
为武汉市新型冠状病毒的防控提供建议。文献
-188-江西科学2021年第39卷
[7]利用SIR模型分析与预测了南亚区域合作联盟(SAARC)组织8个成员国新型冠状病毒的传播情况，为各国防疫政策制定提供指导。文献[8]利用SIR-Poisson分析并预测了新型冠状病毒在马格里布中心国家的传染情况，为各国防疫政策的制定提供专家指导。本文从数学角度研究一类修正SIR传染模型的参数识别问题，并提出了基于BP神经网络方法的参数反演算法，为该模型的应用提供理论与算法依据。
1修正SIR传染病模型
符号假定：s(t)为易感染人数，I(t)为感染人数，R⑴为移除人数(有抗体),D(t)为死亡人数，0为传染率(单位时间单个病人有效传染率)，7表示移出率，%+仏淇中％表示治愈率(单位时间治愈的比率)，%表示死亡率(单位时间死亡的比率)。
假设自然的出生率与自然的死亡率对等，则修正的SIR模型为：
=-01(t)S(t)，t>0，(1)
罟=0")S()-W(),t>0，(2)
国际油价负
彎召=%")，)>0，(3)
畔尹=%")，)>0，(4)
初始条件对应为：
S(0)=S。，"0)="，R(0)=0,D(0)=0o(5)
由假定可知总人数N=S(t)+1(t)+R(t)+ D(t)=S+"为一常数。
若修正S/R模型中的参数％、％、0与初始条件皆为已知，则问题(1)~(5)称为修正ST R模型正问题，下面推导正问题解的表达式。
由式(1)与式(3)可得：曹护=-%S(t)，分离变量求得S(t)=C^e叙)，由S(0)=S。,
R(0)二0，推得S°二故得到
S(t)=S°e-和J(6)由 N为常数，有1(t)=N-S(t)-R(t)-D(t)，即1(t)=N-S°e「帑⑺-R(t)-D(t)o
由式(3)及初始条件得
(^R^1=%(N-S0^°-R(t}-D(t))
'r(0)=0
⑺
由式(3)、式(4)可知晋絆=丄则有R(t)
d D了2
=—D(t)+C,，由R(0)=D(0)=0得，C,=0, 72」」
即
D(t)=—R(t)(8)
—
由式(7)、式(8)可得，
^RRt1=—(n_s苗e®-R(t-—R(t))
(9)从而得到易感染人数、感染人数、有抗体人数、死亡人数变化规律为下面耦合的显式方程组(含显式微分方程、显式超越方程和显式代数方程)：
弩t=—(N-s o e护S-R()-b R(t),t>0,
so=se®,t>0,
'D(t=—R(t),t>0,
—
I(t)=N-S(e M-R(t)-D(t),t>0,
.s(0)=S°,/(0)=厶，R(0)=0,D(0)=0,
(10)
从上述解耦方程组分析可知，若可求得R(t 的解析解，则可以得出S(t、D(t、1(t)的解。可惜的是初值问题(7)的解析解求解困难，需要数值计算，从解耦的形式看，关键需要计算初值问题⑺的数值解。显然/(R)=—(N-S°e捫⑺-R(t)-—R(t))是关于R可导的，故初值问题—
(7)对应微分方程的右端/(R)关于R是Lipschitz 连续的，且Lipschitz有界，由常微分方程初值问题解的存在唯一性定理知，初值问题(8)存在唯一解，故可以设计数值算法求该初值问题的数值解。2参数反问题的唯一性
在利用修正SIR模型对传染疾病发展的实际预测中，传染率0、治愈率—、死亡率—这3个参数往往需要通过对该传染病的相关数据进行数据分析计算得到，本文称通过其他测量数据来识别修正SIR模型3
个参数0、—、—的问题为参数反演问题。下面给出利用同一时刻下观测数据反演0、—、—3个参数的唯一性结论。
定理1：设解耦方程组问题(10)中，0、—、
第2期胡军文等:BP神经网络算法在修正SIR传染病模型参数反演中的应用-189-
於3个参数未知，则0、%、於3个参数可以通过某个测量时刻t=t f的观测值I®=I厂、D(t『) =0、心ff=首唯一确定。
证明：由N二I(f+S(f)+R(f)+D(f)=I +S°，从而有5(f)+S°-1(f)—R(f)-D(f)o 利用式⑹可得:「打爲打，
由式(8)有%==殛，记/(R)=(N-
%R(f)
5涉-昭-R-也R)，从式(9)可得
dR(f)]
[~KR=%df,
5(0)=0,R(f)=R
两边积分得1黑=%f，由/(R)定义知，
/(R)
fRf /(R)2C[0,R],/(R)>0,R2[0,R4，故「JR、积分存在，所以有%二丄「JR、，从而有7(R)f7(R)
0=创％,%=&2%，证毕。
备注1：若人口总数在一定长时间段[0，卩恥」里面不能看成常数，则可以将长时间段分割成一系列小的时间段l^,Tsmal!],[Tsmal!, Tsmal!],5,[Tsmal!_i,Tsmall n]o在每一个相对小的时间跨度区间里面人口规模可视为常数，则每个子区间[Tsmal ln,Tsmal^]上的3个参数0、％、％反演唯一性结论与定理1类似,3个参数0、％、％可视为[0,T隔.]里的分片常值函数。
备注2：(反问题不适定性说明)。
假定观测数据S(f)、R(f)有误差记为5(f)、R(f)，相应的弘记为£，即
-%=R(f)山5(f)_R?f)I"莎6R(f)h莎_R(f)山莎£1]So
R(fy n莎
8($)-R($) _8$)-R($)ns($)-ns"($) 8($)ns。-ns($)
8($)-R($) _8($)-R($)(@s($)-sj) 8($)m#A s(t$，sfi(t$B
从以上分析可知，当5(f)离S。比较近, R(f)比较小时，计算所得参数％相对误差有可能比较大，导致该反演问题不稳定，故问题是不适定的。
3参数的CP神经网络反演
3.1BP(Back Propagation Neural Network)神经
网络简介
BP神经网络是目前应用广泛且有效的神经网络模型。典型的BP神经网络由输入层、隐含层和输出层组成，各层之间神经元相互连接，同层之间无连接，网络结构如图1所示(其中输入节点为$，输出节点为％,%,5,%)。隐含层通常采用激活函数Sigmoid函数，即5($ =厂、。网络用于函数逼近时，输出层激活函1+e
metropolis算法
数通常采用纯线性(pureline)函数，即％$=$。网络进行信息处理时信息逐层由后向前流动，而max{S,S($)B
@S(w)-s。@)。
更新权值时则根据理想输出和实际测量的误差，由前向后逐层修改权值。这样的BP神经网络隐含层中含有足够多的神经元时，能逼近任何具有有限间断点的非连续映射⑶。
».■.=
图1BP神经网络结构图
3.2参数反演算法
3.2.1网络训练样本数据生成给定精确参数0、％、於，利用四阶龙格库塔方法求解方程(9)，得到R(t)的数值解下=[R(1),R(2),…，仙『，将数值解方代入式(10)，求得S(t),D(t,1(t)
的数值解 S = :S(1),S(2),…,S5)r, D =
[D(1),D ⑵，…，。⑺)，亍=[/(1),/(2)，…，/⑺)/,
故分析可知不同的参数$仔,r ，就有对 应的数值解值$ S ,D，了卫碍=1，将不同的 $ 如 D( k), F( k) ,ff (%)｝気，k = 1,-,n 值作为
神经网络的输入值(其中D>(k) , F(k) ,R(k)分
别表示D , I ,R 的第k 个分量，心表示时间节点
取值)，相应的参数值$nw 鳥作为网络
的输出值，这样便构造了神经网络的训练样本集 与测试集。
3.2.2参数反演思想利用构造出来的训练样
本集训练后网络，生成修正SIR 模型S(t), D(t), 1(f) , R ( t)函数与参数0、％、y 2之间的
非线性映射关系，将实际传染病数据$ f, D( f), If) ,R (f )丨输入训练后的网络反求该传染病对
应的模型参数0、%、w 。再将反演出来的参数
代入模型得到确定的修正SIR 模型，以此模型来
研究病情发展状况从而为控制方案的制定提供依 据。
3.2.3 算法流程
1) 取定m 组参数值$ 0 ,
％丿% I 。
2) 对于每组参数值$0,%,% %利用四阶龙 格库塔方法求解方程(8)，得到R(f 的数值解R =:R(1),R(2),…,RS)]'，进而得到数值解
表1
修正SIR 模型参数反演计算及其误差分析
输入指标
输入向量
传染率0
输出向量
治愈率%死亡率%
-正演计算值相对误差/%
f 时死亡人数24 53124 528
0. 12f 时感染人数941 724
0. 000 420. 045 490. 033 93942 587噪声与振动控制
0. 92f 时治愈人数
328 87
32 885
0. 06
从反演结果看，利用BP 神经网络输出的参 数代入修正SIR 模型计算得到的正演数值解与输
入值相对误差保持在1%以内，反演效果相对比
较理想。
5结论
本文研究了一类修正SIR 模型的参数反演问
题，理论上给出了基于某时刻的截面观测数据参 数反演问题的唯一性结论，并设计了 BP 神经网
络反演算法，从数值算例看,BP 神经网络算法反
演SIR 模型参数是有效的。但文中用的训练数据
S , D, I, j = 1,…,m 。
3) 构建网络，并将$ f ,D( k), I( k) ,R
(k) % , (k = 1,…作为网络的输入值，取对
应参数值$ %为网络输出值,j = 1,…，
m ，构造出n X m 组训练样本和测试样本。
4) 训练网络，利用训练数据集训练网络。5) 测试网络，利用测试数据集测试网络。
6) 将实际观测数据$ f,D(f) , I(f) ,R(f) %
输入训练后的网络反求该传染病对应的模型参数 0、% > %。
刀利用反演的参数值0、％、%代入修正
SIR 模型预测f 后传染病人数的具体情况$ f
d ()), i ()),r ())% , f > f 。
4模拟算例
本文旨在探讨利用BP 神经网络算法反演修
正SIR 模型参数的可行性，附加条件为某时刻的
截面观测数据。构造数值算例基本参数设置为： N = 10? , So = 9 999 X 10 , f = 1，其中龙格库
塔数值求解对应的时间步长t = 0. 02 , f = 0. 76。
训练数据为不同传染率、治愈率和死亡率对应的
修正SIR 模型在不同时刻的数值解，共采用了 39
组训练样本数据，训练网络时，训练的总次数设定
为9 999次，学习率设定为0.1，训练目标设定为
0.001。BP 神经网络反演结果如表1所示。
与测试数据都是模型计算的虚拟数据，代入实际
数据进行参数反演是今后可以考虑的问题之一。溴敌隆
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